Математический маятник совершает гармонические колебания. Учитывая, что амплитуда его колебаний остаётся постоянной, определите, как и во сколько раз изменится полная механическая энергия колеблющегося маятника, если частота его колебаний увеличится с v1=0,160 Гц до v2=0,240 Гц.

По просьбе Полины М. решаем эту задачу. 

Дано: 

$\nu_1=0,160$ Гц

$\nu_2=0,240$ Гц

Найти: $\frac{E_{n2}}{E_{n1}}$

Во время гармонических колебаний маятника происходит превращение энергии. В точке максимального отклонения от положения равновесия потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. При прохождении положения равновесия кинетическая энергия максимальна, а потенциальная равна нулю. Полная энергия равна сумме потенциальной и кинетической.  Таким образом, полная кинетическая энергия равна максимальной кинетической.

Кинетическая энергия выражается формулой:

$E_k=\frac{mv^2}{2}$          (1)

где m - масса маятника, v - скорость маятника.

$E_{k\;max}=\frac{mv_{max}^2}{2}$          (2)

$E_{n}=\frac{mv_{max}^2}{2}$        (3)

Уравнение колебаний маятника:

$x(t)=A\sin (2\pi\nu t)$         (4)

где х(t) - координата  маятника (отклонение от положения равновесия), А - амплитуда колебаний, $\nu$ - частота колебаний, t - время. 

Зависимость скорости от времени:

$v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{d(A\sin(2\pi\nu t))}{dt}=2\pi\nu A\cos (2\pi\nu t)$       (5)

$v_{max}=2\pi\nu A$       (6)

$E_{n1}=\frac{m*(2\pi\nu_1 A)^2}{2}$        (7)

$E_{n2}=\frac{m*(2\pi\nu_2 A)^2}{2}$        (8)

$\frac{E_{n2}}{E_{n1}}=\frac{\frac{m*(2\pi\nu_2 A)^2}{2}}{\frac{m*(2\pi\nu_1 A)^2}{2}}$     (9)

$\frac{E_{n2}}{E_{n1}}=\frac{\nu_2^2}{\nu_1^2}$        (10)

$\frac{E_{n2}}{E_{n1}}=\frac{0,240^2}{0,160^2}=2,25$        (11)

Ответ: увеличится в 2,25 раза.