Амплитуда гармонических колебаний материальной точки, колеблющейся вдоль оси Ox, Xmax= 2 см. В начальный момент времени проекция скорости отрицательна, а координата X0=1 см. Через какой минимальный промежуток времени координата точки вновь станет x=1 см, если период колебаний T= 0,96 с?

Дано:

$x_{max}=0,02$ м

$v_0<0$

$x_0=0,01$ м

$x=0,01$ м

$T=0,96$ с

Найти: t

Уравнение колебаний в общем виде:

$x(t)=A\cos(wt+\phi_0)$         (1)

где $x(t),\;A,\;w,\;t,\;\phi_0$ -  координата колеблющегося тела, амплитуда колебаний, угловая частота, время, начальная фаза.

Угловая частота:

$w=\frac{2\pi}{T}$         (2)

(2) подставим в (1).

$x(t=0)=x_{max}\cos(\frac{2\pi t}{T}+\phi_0)$          (3)

$0,01=0,02*\cos(\frac{2*3,14*0}{0,96}+\phi_0)$        (4)

$0,01=0,02\cos{\phi_0}$       (5)

$\cos{\phi_0}=\frac{0,01}{0,02}=0,5$        (6)

Начальная фаза:  

$\phi_0=\arccos 0,5=\frac{\pi}{3}$      (7)

В момент времени $t_1$ колеблющаяся точка пройдет положение равновесия. Значение координаты х будет равно нулю

$x=0$      

$x(t_1)=0,02\cos(6,542t+\frac{\pi}{3})$

$0=0,02\cos(6,54t_1+1,047)$

$\cos(6,54t_1+1,047)=0$

$6,54t+1,047=\arccos 0=\frac{\pi}{2}$

$6,54t_1+1,047=1,57$

$t_1=\frac{1,57-1,047}{6,54}\approx 0,08$  c

Следующий раз точка придет в положение равновесия через время $t_2$, равное половине периода:

$t_2=\frac{T}{2}=\frac{0,96}{2}=0,48$ с

                 Далее из положения равновесия в положение x=0,01 точка снова вернется через время, равное $t_1$

Таким образом, искомый минимальный промежуток времени, через который  координата точки вновь станет x=1 см равен:

$t_x=2t_1+t_2=2*0,08+0,48=0,64$ c