Открывая дверь, мы действуем на неё с силой F. Согласно третьему закону Ньютона и дверь действует на нашу руку с силой F1, которая равна по модулю и противоположна по направлению силе F. Сумма сил F и F1 равна 0. В соответствии с первым законом Ньютона дверь должна оставаться в покое, так как равнодействующая равна 0, но дверь будет двигаться и откроется, если приложить достаточную для этого силу F. Объясните получившееся противоречие.

Все дело в том, что указанные силы приложены к разным физическим телам. Сила F действует на дверь, а сила F1 действует на руку. О равнодействующей можно говорить, только если силы приложены к одному физическому телу. У нас это не так. Поэтому дверь открывается  под воздействием силы F