Как изменится давление идеального газа, если объём увеличится в 2 раза средняя квадратичная скорость его молекул уменьшится во столько же раз.

Как изменится давление идеального газа если объём увеличится в 2 раза средняя квадратичная скорость его молекул уменьшится во столько же раз. 

Дано:

$V_2=2V_1$

$\bar{v_1}=2\bar{v_2}$

Найти: $\frac{P_1}{P_2}$

Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа может быть выражена такими формулами:

$\bar{E_k}=\frac{3}{2}kT$           (1)

где k, T - соответственно постоянная Больцмана и абсолютная температура газа. 

$\bar{E_k}=\frac{m_0\bar{v^2}}{2}$         (2)

где $m_0,\;\bar{v}$ - соответственно масса молекулы газа и средняя квадратичная скорость молекулы. 

Левые части (1) и (2) одинаковые, значит правые части равны. 

$\frac{3}{2}kT=\frac{m_0\bar{v^2}}{2}$        (3)

$T=\frac{2m_0\bar{v^2}}{2*3k}=\frac{m_0\bar{v^2}}{3k}$         (4)

$T_1=\frac{m_0\bar{v_1^2}}{3k}$         (5)

$T_2=\frac{m_0\bar{v_2^2}}{3k}$          (6)

$\frac{T_1}{T_2}=\frac{\frac{m_0\bar{v_1^2}}{3k}}{\frac{m_0\bar{v_2^2}}{3k}}=\frac{\bar{v_1^2}}{\bar{v_2^2}}$        (7)

$\bar{v_1}=2\bar{v_2}$            (8)

$\frac{T_1}{T_2}=\frac{(2\bar{v_2})^2}{\bar{v_2^2}}=4$        (9)

$T_1=4T_2$         (10)

Уравнения Менделеева-Клапейрона для начального и конечного состояний газа:

$P_1V_1=\nu RT_1$         (11)

$P_2V_2=\nu RT_2$         (12)

$P_1=\frac{\nu RT_1}{V_1}$        (13)

$P_2=\frac{\nu RT_2}{V_2}$         (14)

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{\frac{\nu RT_1}{V_1}}{\frac{\nu RT_2}{V_2}}$       (15)

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{T_1V_2}{T_2V_1}$        (16)

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{4T_2*2V_1}{T_2V_1}=8$

Ответ: давление уменьшится в 8 раз