Как и во сколько раз надо изменить скорость тела, брошенного горизонтально, чтобы при высоте вдвое меньшей получить прежнюю дальность полета?

Сопротивлением воздуха пренебрегаем.  Скорость полёта  тела в любой момент времени состоит из двух составляющих - вертикальной и горизонтальной. Горизонтальная скорость остаётся неизменной за все время полета от броска до падения на землю. 

Если с высоты h тело бросали с начальной скоростью v1, то тело упало на расстоянии x.

$x=v_1t_1$       (1)

где $t_1$ - время падения с высоты h.

 Время падения при броске с высоты h:

$t_1=\sqrt{\frac{2h}{g}}$        (2)

(2) в (1)   

$x=v_1*\sqrt{\frac{2h}{g}}$        (3)

Время падения при броске с высоты 0,5h:

$t_2=\sqrt{\frac{2*0,5h}{g}}=\sqrt{\frac{h}{g}}$       (4)

За это время, согласно условию, тело должно пролететь свой путь и упасть в точке х.

$x=v_2t_2$       (5)

(5) подставим в (4)

$x=v_2 *\sqrt{\frac{h}{g}}$       (6)

Левые части (3) и (6) одинаковы, значит, правые части равны. Запишем равенство правых частей.

$v_1*\sqrt{\frac{2h}{g}}=v_2 *\sqrt{\frac{h}{g}}$        (7)

$v_2=\frac{v_1*\sqrt{\frac{2h}{g}}}{\sqrt{\frac{h}{g}}}=\sqrt{2}v_1\approx 1,41v_1$

Ответ: скорость надо увеличить в 1,41 раза