Диск радиусом r=20 см вращается согласно уравнению $\phi=3-t+0,1t^3$ рад. Определить угловую скорость $w_t$, угловое $\varepsilon$, n=тангенциальное $a_{\tau_t}$, нормальное $a_{n_t}$ и полное ускорение точки $a_t$, находящейся на краю диска, в конце 20 секунды его вращения.

Дано:

$r=0,2$ м

$\phi=3-t+0,1t^3$ рад

$t=20\;c$

Найти: $w_t,\;\varepsilon,\;a_{\tau_t},\;a_{n_t},\;a_t$

Зависимость угловой скорости вращения от времени определяется первой производной от функции угла  по времени. 

$w(t)=\frac{d\phi}{dt}$                   (1)

$w(t)=\frac{d(3-t+0,1t^3)}{dt}=-1+0,3t^2$            (2)

При t=20 c   угловая скорость    $w_{t}=-1+0,3*20^2=119$ рад/с            (3)

Угловое ускорение определяется производной от угловой скорости по времени.

$\varepsilon (t)=\frac{d w(t)}{dt}$          (4)

$\varepsilon(t)=\frac{d(-1+0,3t^2)}{dt}=0,6t$              (5)

Угловое ускорение в конце 20 секунды:

$\varepsilon (t=20)=0,6*20=12$  $рад/с^2$                (6)

Линейная скорость точки на краю диска:

$v(t)=rw(t)=r(-1+0,3t^2)$                (7)

Тангенциальное ускорение точки на краю диска:

 $a_{tau}(t)=\frac{dv(t)}{dt}=\frac{d(r(-1+0,3t^2))}{dt}=0,6rt$           (8)

Для значения времени 20 с  тангенциальное ускорение:

$a_{\tau_t}=0,6*0,2*20=2,4$  $м/с^2$         (9)

Нормальное ускорение:

$a_n(t)=\frac{v^2(t)}{r}=\frac{(r(-1+0,3t^2))^2}{r}=r(-1+0,3t^2)^2$           (10)

Для значения времени 20 с  нормальное ускорение:

$a_{n_t}=0,2*(-1+0,3*20^2)^2=2832.2$  $м/с^2$             (11)

Полное ускорение:

$a_{t}=\sqrt{a_{\tau}^2+a_n^2}$

$a_t=\sqrt{2,4^2+2832,2^2}=2832,2$    $м/с^2$         (12)