С какой скоростью нужно подбросить вертикально вверх монету, чтобы она через 3 секунды упала на землю? Определите максимальную высоту подъема монеты.

Дано:

$t_n=3\;c$

Найти: $v_0,\;h_m$

Монета будет двигаться вверх с постоянным отрицательным  ускорением g.   При таком движении скорость в любой момент времени описывается уравнением 

$v(t)=v_0-gt$                (1)

где $v_0,\;g,\;t$  -  соответственно начальная скорость монеты, ускорение земного тяготения, время. 

В наивысшей точке скорость монеты станет равной нулю.   Тогда уравнение (1) в момент достижения максимальной высоты приобретает вид

$v_0-gt=0$                (2)

$v_0=gt$                (3)

На подъем монета потратит половину общего времени полета, ведь процесс подъема и падения занимают одинаковое время. 

Искомая начальная скорость   $v_0=g*\frac{t_n}{2}=9,81*\frac{3}{2}\approx 14,7$  м/с

Путь во время движения тела с начальной скоростью и постоянным ускорением выражается формулой:

$h=v_0t+\frac{at^2}{2}$                (4)

У нас путь - это высота, ускорение - это ускорение земного тяготения, причем оно будет со знаком "минус" потому, что направлено против начальной скорости.

$h=v_0t-\frac{gt^2}{2}$                    (5)

Время достижения максимальной высоты, как мы уже говорили, равно половине всего времени полёта. 

$h_m=v_0*\frac{t_n}{2}-\frac{g(\frac{t_n}{2})^2}{2}$              (6)

Подставим данные в (6).

$h_m=14,7*1,5-\frac{9,81*(\frac{3}{2})^2}{2}\approx 11$ м

Ответ: начальная скорость 14,7 метра в секунду, максимальная высота подъема 11 метров.