По горизонтальной поверхности движутся два тела. Потенциальная энергия первого тела в два раза больше, чем потенциальная энергия второго тела, а его кинетическая энергия в два раза меньше кинетической энергии второго тела. Найдите отношение импульса первого тела к импульсу второго тела.

Дано:
$\Pi_1=2\Pi_2$
$K_1=0,5K_2$
Найти:  $\frac{P_1}{P_2}$

Импульс:   $P=mv$                    (1) 

Потенциальная энергия:   $\Pi=mgh$                (2)

Кинетическая энергия:    $K=\frac{mv^2}{2}$               (3)

Отношение импульса первого тела к импульсу второго тела:

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{m_1v_1}{m_2v_2}$              (4)

$\Pi_1=m_1gh$           $\Pi_2=m_2gh$       

Согласно условию   $\Pi_1=2\Pi_2$   поэтому  $m_1gh=2m_2gh$,  откуда           

 $m_1=2m_2$             (5)

$K_1=0,5K_2$     

Согласно условию   $K_1=0,5K_2$,   поэтому   $\frac{m_1v_1^2}{2}=0,5*\frac{m_2v_2^2}{2}$

$m_1v_1^2=0,5m_2v_2^2$          $2m_2v_1^2=0,5m_2v_2^2$          $4v_1^2=v_2^2$

Таким образом,   $v_2=2v_1$               (6)

Подставим (5) и (6) в  (4):

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{m_1v_1}{m_2v_2}=\frac{2m_2v_1}{m_2*2v_1}=1$

Ответ:  $\frac{P_1}{P_2}=1$,    то есть импульсы тел одинаковы.