С высоты 1,5 м из игрушечного пистолета, с пружинным механизмом жесткостью 1500 Н/м, произведен выстрел

С высоты 1,5 м из игрушечного пистолета, с пружинным механизмом жесткостью 1500 Н/м, произведен выстрел шариком, массой 10 г, вертикально вниз. На какую максимальную высоту поднимется шарик после удара о пол, если удар считать абсолютно упругим? Пружина пистолета при зарядке сжимается на 1 см.

Дано:
$h_0=1,5\;\text{м}$
$k=1500\;\text{Н/м}$
$m=0,01\;\text{кг}$
$x=0,01\;\text{м}$
Найти: $h_m$

Обратимся к закону сохранения энергии. Начальный запас энергии (до выстрела) состоит из суммы потенциальной энергии пули относительно пола и потенциальной энергии сжатой пружины.

$\Pi=\Pi_1+\Pi_2=mgh+\frac{kx^2}{2}$                 (1)

Если пренебречь сопротивлением воздуха, то в момент подлета к полу пуля будет обладать кинетической энергией, по величине равной начальной потенциальной энергии пули до выстрела.

$K=\Pi$                (2)

Запишем уравнение кинетической энергии пули в момент касания пола через её скорость и массу.

$K=\frac{mv_1^2}{2}$                           (3)

С учетом (2) правые части (1) и (3) равны друг другу.

$mgh+\frac{kx^2}{2}=\frac{mv_1^2}{2}$                    (4)

Из (4) выразим скорость пули в момент касания пола.

$v_1^2=\frac{2(mgh+\frac{kx^2}{2})}{m}=\frac{2mgh+kx^2}{m}$                   (5)

Поскольку, согласно условию, удар абсолютно упругий, это и будет начальной скоростью при полете пули вверх.

И снова к закону сохранения энергии.   Вся начальная кинетическая энергия пули в момент старта от пола превратится в потенциальную энергии пули на максимальной высоте.

$\frac{mv_1^2}{2}=mgh_m$              (6)

$v_1^2=2gh_m$                 (7)

$2gh_m=\frac{2mgh+kx^2}{m}$              (8)

$2mgh_m=2mgh+kx^2$                   (9)

$h_m=\frac{2mgh+kx^2}{2mg}$               (10)

$h_m=\frac{2*0,01*9,81*1,5+1500*0,01^2}{2*0,01*9,81}\approx 2,26\;\text{м}$