Определите время отставания маятниковых часов за сутки, если их поднять на высоту 5 км над поверхностью Земли.

Определите время отставания маятниковых часов за сутки, если их поднять на высоту 5 км над поверхностью Земли.


Период колебаний маятника выражается формулой

\(T=2\pi\sqrt{\frac{L}{a}}\)                 (1)

где L- длина маятника, a - ускорение земного тяготения.

Сила притяжения маятника Землей выражается законом всемирного тяготения:

\(F=\gamma \frac{mM}{r^2}\)             (2)

 где \(\gamma,\;m,\;M,\;r\) - соответственно гравитационная постоянная, масса маятника, масса Земли, расстояние от маятника до центра Земли.

Согласно второму закону Ньютона, ускорение, действующее на маятник, равно силе, деленной на массу:

\(a=\frac{F}{m}=\frac{\gamma \frac{mM}{r^2}}{m}=\gamma \frac{M}{r^2}\)            (3)

Таким образом, ускорение, действующее на маятник  на поверхности Земли: 

 \(a_0==\gamma \frac{M}{R^2}\)          (4)         

где R - радиус Земли,

Ускорение, действующее на маятник  на высоте h над поверхностью Земли: 

\(a_h=\gamma \frac{M}{(R+h)^2}\)            (5)

Периоды колебаний:   

на земле   \(T_0=2\pi\sqrt{\frac{L}{a_0}}\)              (6)

на высоте h      \(T_h= 2\pi\sqrt{\frac{L}{a_h}}\)               (7)


Искомое отставание равно \(dt=t*(1/T_0-1/T_h)\)            (8)

 \(dt=t*(1-\sqrt{{a_h}{a_0}}\);                     \(dt=t*(1-\frac{R}{(R+h})\)

\(dt=3600*24*(1-\frac{6400000}{6400000+5000}\approx 67\;c\)