Определите время отставания маятниковых часов за сутки, если их поднять на высоту 5 км над поверхностью Земли.

Определите время отставания маятниковых часов за сутки, если их поднять на высоту 5 км над поверхностью Земли.


Период колебаний маятника выражается формулой

$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{a}}$                 (1)

где L- длина маятника, a - ускорение земного тяготения.

Сила притяжения маятника Землей выражается законом всемирного тяготения:

$F=\gamma \frac{mM}{r^2}$             (2)

 где $\gamma,\;m,\;M,\;r$ - соответственно гравитационная постоянная, масса маятника, масса Земли, расстояние от маятника до центра Земли.

Согласно второму закону Ньютона, ускорение, действующее на маятник, равно силе, деленной на массу:

$a=\frac{F}{m}=\frac{\gamma \frac{mM}{r^2}}{m}=\gamma \frac{M}{r^2}$            (3)

Таким образом, ускорение, действующее на маятник  на поверхности Земли: 

 $a_0==\gamma \frac{M}{R^2}$          (4)         

где R - радиус Земли,

Ускорение, действующее на маятник  на высоте h над поверхностью Земли: 

$a_h=\gamma \frac{M}{(R+h)^2}$            (5)

Периоды колебаний:   

на земле   $T_0=2\pi\sqrt{\frac{L}{a_0}}$              (6)

на высоте h      $T_h= 2\pi\sqrt{\frac{L}{a_h}}$               (7)


Искомое отставание равно $dt=t*(1/T_0-1/T_h)$            (8)

 $dt=t*(1-\sqrt{{a_h}{a_0}}$;                     $dt=t*(1-\frac{R}{(R+h})$

$dt=3600*24*(1-\frac{6400000}{6400000+5000}\approx 67\;c$