Модуль ускорения свободного падения вблизи поверхности астероида равен 0,2 м/с^2. Чему будет равен модуль ускорения свободного падения вблизи поверхности другого астероида, объём которого в 8 раз меньше?

Модуль ускорения свободного падения вблизи поверхности астероида равен 0,2 м/с^2. Чему будет равен модуль ускорения свободного падения вблизи поверхности другого астероида, объём которого в 8 раз меньше? Оба астероида однородные, сферические и состоят из железа. Ответ выразите в м/с^2.

Почему радиус другого астероида меньше в два раза?

Дано:
\(a_1=0,2\;\text{м/с}^2\)
\(V_1=8V_2\)
Найти: \(a_2\)

Объем шара:           \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)

Отношение объемов первого и второго астероидов:     

\(\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3}=\frac{R_1^3}{R_2^3}\)

По условию  \(\frac{V_1}{V_2}=8\)         \(\frac{R_1^3}{R_2^3}=8\)

\(\frac{R_1}{R_2}=\sqrt[3]{8}=2\)           \(R_1=2R_2\)

Таким образом, радиус второго астероида в 2 раза меньше радиуса первого астероида.

Закон всемирного тяготения:  \(F=\gamma \frac{mM}{R^2}\)          (1)

Второй закон Ньютона:      \(a=\frac{F}{m}\)              (2)

\(a_1=\frac{F_1}{m_1}=\frac{\gamma \frac{m_1M_1}{R_1^2}}{m_1}=\gamma \frac{M_1}{R_1^2}\)           (3)

\(a_2=\gamma \frac{M_2}{R_2^2}\)            (4)

\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{\gamma \frac{M_2}{R_2^2}}{\gamma \frac{M_1}{R_1^2}}=\frac{M_2R_1^2}{M_1R_2^2}\)           (5)

\(M=\rho V\)             (6)

\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{\rho V_2R_1^2}{\rho V_1R_2^2}=\frac{V_2R_1^2}{V_1R_2^2}\)        (7)

\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{V_2R_1^2}{V_1R_2^2}=\frac{V_2(2R_2)^2}{8V_2*R_2^2}=0,5\)      (8)

\(a_2=0,5a_1\)                 \(a_2=0,5*0,2=0,1\;\text{м/с}^2\)