В однородном диске одинаковой толщины с радиусом R вырезали круглое отверстие радиусом r . На сколько сантиметров при этом переместится центр тяжести?

В однородном диске одинаковой толщины с радиусом R вырезали круглое отверстие радиусом r . На сколько сантиметров при этом переместится центр тяжести?

Один из вариантов такой задачи в украинской версии:  В однородному диску,  радіус якого дорівнює 20 см, вирізали отвір діаметра  20 см так, як показано на малюнку. На якій відстані від точки О міститься центр тяжіння такої фігури?

Представим  исходный диск массой m как сумму круга радиуса r с массой \(m_1\) и диска с прорезью массой \(m-m_1\).  Круг радиуса r имеет центр масс в точке с координатой r.  Диск с прорезью имеет центр масс в точке с координатой x. Диск радиуса R имеет центр масс в точке с координатой 0. Диск однородный, плотность материала обозначим  \(\rho\), толщину - h, тогда

масса вырезанного диска:   \(m_1=S_1h\rho=\pi r^2h\rho\)       
масса целого диска:  \(m=Sh\rho=\pi R^2h\rho\)

Запишем формулу моментов сил тела, состоящего из 2 компонентов:

\((m_1+m_2)x=m_1*x_1+m_2*x_2\)

В нашем случае

\(m*0 = m_1*r + (m-m_1)*x\)

откуда

\(х =\frac{-m_1*r}{m-m_1}=\frac{-\pi*hr^2\rho*r}{\pi*R^2h\rho - \pi*r^2h\rho}=\frac{- r^3}{R^2 - r^2}\)