Период колебаний объекта равен 12 с. Считая движение объекта во время колебания равнопеременным (равноускоренным или равнозамедленным), определи время, за которое объект пройдет путь, равный 1/4 амплитуды, если в начальный момент времени объект проходил положение равновесия

Дано:

$T=12\;c$

$S=\frac{A}{4}$

$x_0=0$

Найти: $t_x$

Период 12 с, после прохождения равновесия до максимума амплитуды  $t_{max}=12/4=3$ c.

По просьбе читателя, к сожалению не назвавшего своё имя, даю подробное объяснение. 

 Итак, согласно условию, период колебаний составляет 12 секунд.  Период - это время, за которое объект совершает одно полное колебание. 

Давайте разберемся, что такое одно полное колебание. Рассмотрим на примере маятника.

         Согласно условию, начальный момент - это положение равновесия (положение по центру). Тогда объект (маятник), совершающий колебания, сначала двигается в одно крайнее положение (пусть будет вправо), достигает крайнего положения.  Величина максимального отклонения от положения равновесия называется амплитудой колебаний. Мы обозначили её буквой А. Далее, маятник возвращается в начальное положение и потом отклоняется влево от положения равновесия на величину амплитуды, затем возвращается в начальную точку. Вот этот цикл и есть одно полное колебание. Время, за которое маятник прошел этот путь и есть период колебаний.  Маятник побывал во всех точках траектории колебаний и далее всё повторяется снова. 

Как следует из наших рассуждений, за один период маятник проходит путь, равный 4 амплитудам: от положения равновесия вправо - одна амплитуда, из крайнего правого к положению равновесия - вторая, из положения равновесия влево - третья, назад к положению равновесия - четвертая. 

От положения равновесия до максимального отклонения проходит время:

$t_{max}=\frac{T}{4}=\frac{12}{4}=3$ секунды.           (1)

                Согласно условию, характер движения объекта следует считать равнопеременным, то-есть с постоянным по модулю ускорением. Это значит, что из положения равновесия маятник двигается вправо к крайнему положению с постоянным отрицательным ускорением, его скорость уменьшается до нуля, потом ускорение становится положительным, скорость от нуля нарастает до максимальной в положении равновесия, где ускорение снова становится отрицательным и так далее.

Путь при движении с постоянным отрицательным ускорением определяется известной формулой:

$S=v_0t-\frac{at^2}{2}$          (2)

В нашем случае, весь путь - это амплитуда.   Время достижения амплитуды $t_{max}$, которое мы определили  в выражении (1).

Тогда можем записать:

$A=v_0t_{max}-\frac{at_{max}^2}{2}$           (3)

По условию объект должен пройти путь, равный четверти амплитуды. 

$\frac{A}{4}=v_0t_x-\frac{at_x^2}{2}$          (4)

(3)👉(4)

$\frac{v_0t_{max}-\frac{at_{max}^2}{2}}{4}=v_0t_x-\frac{at_x^2}{2}$       (5)

$v_0t_{max}-\frac{at_{max}^2}{2}=4v_0t_x-2at_x^2$           (6)

$2v_0t_{max}-at_{max}^2=8v_0t_x-4at_x^2$         (7)

$v_0-at_{max}=0$        (8)

$v_0=at_{max}$         (9)

(9)👉(7)

$2at_{max}*t_{max}-at_{max}^2=8at_{max}t_x-4at_x^2$       (10)

$4t_x^2-8t_{max}t_x+t_{max}^2=0$        (11)

$4t_x^2-8*3t_x+3^2=0$        (12)

$4t_x^2-24t_x+9=0$        (13)

$t_{x1}\approx 5,6$ с   - это не пододит по условию задачи. 

$t_{x2}\approx 0,4$ с

Ответ: 0,4 с

Надеюсь, теперь все стало понятно.   Обращайтесь. Пишите отзывы в комментариях, мне это очень нужно и очень важно. Ваши отзывы помогают держать мой сайт актуальным