Материальная точка совершает колебания по закону x=3cos(2∙π∙t+3/2∙π) . Определить: 1) период колебаний, 2) максимальную скорость

Материальная точка совершает колебания по закону x=3cos(2∙π∙t+3/2∙π) . Определить: 1) период колебаний, 2) максимальную скорость, 3) максимальное ускорение точки.

Формула гармонических колебаний точки в общем виде имеет вид:

\(x(t)=A_m\cos(wt+\phi)\)            (1)

где \(x(t),\;A_m,\;w,\;t,\;\phi\) - соответственно отклонение точки от положения равновесия в момент времени t, амплитуда колебаний, круговая частота колебаний, время, начальная фаза.

Из сравнения (1) с заданным в условии уравнением можно сделать вывод, что круговая частота

\(w=2\pi\;\text{рад/с}\).             (2)

Круговая частота с периодом связана зависимостью, которая выражается формулой:

\(w=\frac{2\pi}{T}\)               (3)

(2) подставим в (3)              \(2\pi=\frac{2\pi}{T}\)

Искомый период колебаний:     \(T=1\;c\)

Скорость колебаний \(v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=-3\sin(2∙π∙t+3/2∙π)*2\pi=-6\pi\sin(2∙π∙t+3/2∙π)\)        (4)

Максимальная скорость (по модулю) будет в тот момент, когда значение   косинуса в (4) будет равно максимальному, то есть 1.

\(v_{max}=6*3,14=18,84\;\text{м/с}\)

Ускорение:   

\(a(t)=\frac{dv(t)}{dt}=-6\pi\cos(2∙π∙t+3/2∙π)*2\pi=-12\pi^2\sin(2∙π∙t+3/2∙π)\)          (5)

Максимальное ускорение (по модулю ) будет тогда, когда синус в (5) будет равен единице

\(a=12*3,14^2\approx 118,3\;\text{м/с}^2\)