Материальная точка совершает колебания по закону x=3cos(2∙π∙t+3/2∙π) . Определить: 1) период колебаний, 2) максимальную скорость

Материальная точка совершает колебания по закону x=3cos(2∙π∙t+3/2∙π) . Определить: 1) период колебаний, 2) максимальную скорость, 3) максимальное ускорение точки.

Формула гармонических колебаний точки в общем виде имеет вид:

$x(t)=A_m\cos(wt+\phi)$            (1)

где $x(t),\;A_m,\;w,\;t,\;\phi$ - соответственно отклонение точки от положения равновесия в момент времени t, амплитуда колебаний, круговая частота колебаний, время, начальная фаза.

Из сравнения (1) с заданным в условии уравнением можно сделать вывод, что круговая частота

$w=2\pi\;\text{рад/с}$.             (2)

Круговая частота с периодом связана зависимостью, которая выражается формулой:

$w=\frac{2\pi}{T}$               (3)

(2) подставим в (3)              $2\pi=\frac{2\pi}{T}$

Искомый период колебаний:     $T=1\;c$

Скорость колебаний $v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=-3\sin(2∙π∙t+3/2∙π)*2\pi=-6\pi\sin(2∙π∙t+3/2∙π)$        (4)

Максимальная скорость (по модулю) будет в тот момент, когда значение   косинуса в (4) будет равно максимальному, то есть 1.

$v_{max}=6*3,14=18,84\;\text{м/с}$

Ускорение:   

$a(t)=\frac{dv(t)}{dt}=-6\pi\cos(2∙π∙t+3/2∙π)*2\pi=-12\pi^2\sin(2∙π∙t+3/2∙π)$          (5)

Максимальное ускорение (по модулю ) будет тогда, когда синус в (5) будет равен единице

$a=12*3,14^2\approx 118,3\;\text{м/с}^2$