Уравнение движения точки дано в виде x = A cos(Pi * (t/2)). Определите моменты времени, при которых достигается максимальное ускорение точки [0 c; 2 c; 4 c, ...]

Уравнение движения точки дано в виде x = A cos(Pi * (t/2)). Определите моменты времени, при которых достигается максимальное ускорение точки [0 c; 2 c; 4 c, ...]

Уравнение гармонических колебаний в общем виде имеет вид:

\(x(t)=A\cos{(wt+\phi_0)}\)              (1)

 где \(x(t), A, w, t, \phi_0\) - соответственно координата колеблющейся точки в момент времени t,   амплитуда колебаний, круговая частота, время, начальная фаза колебаний.

Сравним заданное в условии уравнение \(x(t)=A\cos{\frac{\pi t}{2}}\)     с уравнением (1)     

Из сравнения можем сделать выводы:   \(w=\frac{\pi}{2}\;\text{рад/с}\),   \(\phi_0=0\)

Первая производная от уравнения движения по времени дает нам зависимость скорости от времени, производная от скорости по времени дает нам зависимость ускорения от времени:

\(v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d(A\cos{\frac{\pi t}{2}})}{dt}=-A*\frac{\pi}{2}\sin{\frac{\pi t}{2}}\)

\(a=\frac{dv(t)}{dt}=-A*\frac{\pi^2}{4}*\cos{\frac{\pi t}{2}}\)           (2)

Как следует из анализа (2), ускорение будет достигать значений максимума в моменты времени, когда косинус будет иметь максимальное значение, равное плюс-минус единице.

\(\cos {\frac{\pi t}{2}}=1\)             \(\frac{\pi t}{2}=\arccos 1=n\pi\)     где n - натуральные числа от 0 до бесконечности

\(\frac{\pi t}{2}=n\pi\)                 \(t=2n\)       

\(t=0\; c, 2\; c, 4\; c, 6\; c....\)