Гармоническое колебание материальной точки задано уравнением x = 0,2cos16πt (м) Определить момент времени, при котором точка будет находиться в положении равновесия

Гармоническое колебание материальной точки задано уравнением x = 0,2cos16πt (м) Определить момент времени, при котором точка будет находиться в положении равновесия и максимальную скорость колебания.

В положении равновесия отклонение точки от положения равновесия равно нулю.
Это значит, что правая часть заданного в условии  уравнения гармонических колебаний материальной точки x = 0,2cos16πt  принимает значение, равное нулю.  Это возможно в том случае, когда косинус равен нулю.

\(\cos{16\pi t}=0\)               \(16\pi t=\arccos {0}\)          \(16\pi t=\frac{\pi}{2}\)

\(t=\frac{\pi}{2*16\pi}=0.03125\;c\)

Таким образом, точка будет находится в положении равновесия в момент времени 0,03125 с после начала колебаний. 

Период колебаний  легко найти, сопоставив заданное уравнение с уравнением общего вида:

\(x(t)=A\cos wt=A\cos{\frac{2\pi}{T}t}\)

\(\frac{2\pi}{T}=16\pi\)             \(T=\frac{2}{16}=0,125\;c\)

Следует отметить, что впоследствии  в положении равновесия точка будет находиться в моменты времени, равные найденному нами времени первого равновесия плюс половина периода. Это можно записать так

\(t=0,03125+0,0625*n\)          где n - любое целое положительное число.

Вот как это выглядит на графике, где точки равновесия отмечены красным.

 

Скорость колебаний равна производной от функции координаты точки по времени, проще говоря, производной от заданного уравнения по времени:

\(v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=-0,2*16\pi*\sin{16\pi t}\approx -10\sin{16\pi t}\)             (1)

Значение выражения (1) становится максимальным, когда значение синуса равно -1.  Тогда искомая максимальная скорость \(v_{max}=10\;\text{м/с}\)