Доказать что скорость с которой тело брошено с поверхности земли равна скорости тела перед падением на землю

Доказать что скорость с которой тело брошено с поверхности земли равна скорости тела перед падением на землю

Пусть начальная скорость $u_0,$ и тело бросили под углом $\alpha$.   Тело будет двигаться по горизонтали вдоль оси ОХ и по вертикали вдоль оси ОУ.  

Начальную скорость можно представить в виде  суммы векторов скорости горизонтальной и скорости вертикальной.

В проекциях на оси можем записать 

$u_{x0}=u_0\cos{\alpha}$             (1)

$u_{y0}=u_0\sin{\alpha}$              (2)

Если пренебречь сопротивлением воздуха, то горизонтальная скорость остается постоянной все время полета, а вертикальная скорость, направленная вверх,  сначала будет уменьшаться под воздействием земного тяготения, потом в точке максимального подъема станет равной нулю, потом поменяет направление и повернется вниз  и будет нарастать. Движение равноускоренное ( с постоянным ускорением g)

Зависимость вертикальной скорости от времени $u(t)=u_{y0}-gt$          (3)

В точке максимальной высоты $u(t)=0$             (4)

Тогда правая часть (3) = 0                   $u_{y0}-gt=0$            (5)

$u_{y0}=gt$               (6)                    Время подъема        $t=\frac{u_y0}{g}$            (7)

Максимальная высота подъема:          $h_{max}=u_{y0}t-\frac{gt^2}{2}$             (8)

$h_{max}=u_{y0}*\frac{u_{y0}}{g}-\frac{g*(\frac{u_{y0}}{g})^2}{2}=\frac{u_{y0}^2}{2g}$

Скорость тела при падении с высоты $h_{max}$   определяется формулой:

$u_y=\sqrt{2gh_{max}}=\sqrt{2g*\frac{u_{y0}^2}{2g}}=u_{y0}$            (9)

Таким образом, вертикальная скорость в момент падения равна вертикальной скорости в момент броска, а горизонтальная оставалась   неизменной  за все время полета. Тогда и полная скорость в момент падения равна скорости в момент броска.