Граната, брошенная от поверхности Земли, разрывается на два одинаковых осколка в наивысшей точке траектории на расстоянии а от места бросания, считая по горизонтали. Один из осколков летит в обратном направлении с той же по модулю скоростью, которую имела граната до разрыва. На каком расстоянии L от места бросания упадет второй осколок?

 Как известно, тело, брошенное под углом к горизонту, летит по траектории, представляющей собой параболу. Вектор скорости тела в любой точке траектории удобно рассматривать, как сумму векторов горизонтальной и вертикальной скорости. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то горизонтальная скорость остается постоянной на всем протяжении полета, а вертикальная - под воздействием ускорения земного тяготения уменьшается от максимума в момент бросания до нуля в верхней точке траектории, а затем меняет направление и растет, достигая в момент падения   значения по модулю, равного вертикальной скорости в момент броска.

Запишем закон сохранения импульса движения в проекциях скоростей на ось ОХ:

$-0,5mV_{x1}+0,5mV_{x2}=mV_x$                      (1)   

где   $m,\;V_{x1},\;V_{x2},\;V_x$ -  соответственно масса гранаты, горизонтальная скорость первого осколка, горизонтальная скорость второго осколка, горизонтальная скорость неразорвавшейся гранаты в верхней точке траектории.

Согласно условию задачи      $V_{x1}=V_x$                 (2)

  Подставим    (2) в (1)   и найдем скорость второго осколка:     $V_{x2}=3V_x$

          Поскольку вследствие  разрыва гранаты её осколки не приобрели вертикальную скорость, время падения осколков на землю  будет равно времени подъема до верхней точки траектории.
Выразим это время через начальную горизонтальную скорость и пройденное по оси ОХ расстояние до момента разрыва гранаты в наивысшей точке траектории:

$t=\frac{a}{V_x}$               (3)

Таким образом за время падения из наивысшей точки до земли второй осколок пролетит расстояние вдоль оси ОХ, равное d:

$d=3V_xt=\frac{3V_x*a}{V_x}=3a$               (4)

Искомое расстояние точки падения второго осколка от точки бросания: 

$L=a+3a=4a$ 

Ответ: 4а