Начальная фаза гармонического колебания 0, период 3,6 с. Через какое время ускорение точки будет равно половине её максимального ускорения?

Дано:
$\phi_0=0$
$T=3,6$ c
$a_1=0,5a_{max}$
Найти: $t_1$


Уравнение гармонических колебаний в общем виде:

$x(t)=A\sin (wt+\phi_0)$

Учитывая, что начальная фаза равна нулю:

 $x(t)=A\sin wt$              (1)

Первая производная от уравнения (1) дает нам зависимость скорости колеблющейся точки от времени:   

$x'(t)=v(t)=Aw\cos wt$       

Вторая производная от уравнения  (1) дает уравнение зависимости ускорения колеблющейся точки от времени:  

$x''(t)=a(t)=-aw^2\sin wt$         (2)

Из (2) очевидно, что максимальное  значение ускорения

$a_{max}=Aw^2$,

знак минус мы можем не принимать во внимание, ведь нас интересует величина ускорения, то есть его модуль.

Мы ищем момент времени, когда ускорение равно половине максимального:

            $\frac{Aw^2}{2}=Aw^2\sin wt_1$                 $\sin wt_1=0,5$         

$wt_1=\frac{\pi}{6}$               $t_1=\frac{\pi}{6w}$             $w=\frac{2\pi}{T}$

$t_1=\frac{\pi T}{6*2\pi}=\frac{T}{12}$

$t_1=\frac{3,6}{12}=0,3\;c$

Ответ:   через 0,3 с