Какой величины сопротивление R нужно включить в диагональ квадрата, чтобы сопротивление, измеряемое между точками А и В, было равно r/2

Общее сопротивление между точками А и В представляет собой общее сопротивление трех параллельных ветвей - две ветви содержат по два последовательных резистора r, а одна ветвь - искомое сопротивление R.

Для начала найдем общее сопротивление двух  параллельных ветвей, содержащих  по два последовательно включенных резистора r.  Последовательно включенные резисторы дают общее сопротивление, равное сумме всех последовательных элементов, то есть каждая ветвь имеет сопротивление 2r.  Ниже показана эквивалентная схема, где красная ветвь - это искомый резистор, его пока исключаем.

Две параллельные ветви по 2r дают общее сопротивление:

$R_1=\frac{2r*2r}{2r+2r}=r$   

Получаем эквивалентную схему:

Имеем две параллельные ветви с сопротивлениями r и R.

Теперь запишем формулу общего сопротивления   для этой схемы:

$\frac{r*R}{r+R}=\frac{r}{2}$       

Решаем это уравнение с неизвестным (искомым) R

 $2Rr=r^2+Rr$             $R=r$

Ответ:    $R=r$