Двигаясь равноускоренно под уклон, поезд прошел участок спуска со средней скоростью 54 км/ч, увеличив скорость на этом участке на 36 км/ч по сравнению с начальной. Найти скорость V, с которой поезд двигался по середине участка спуска.

Дано:

$V_{cp}=15$ м/с

$\Delta V=10$ м/с

Найти: $V_x$

$V_{cp}=\frac{S}{t}$           $V_2=V_1+\Delta V$              $a=\frac{\Delta V}{t}$

$S=V_1t+\frac{at^2}{2}$             

$S=V_1t+\frac{(V_2-V_1)t^2}{2t}=t(V_1+\frac{\Delta V}{2})$

$\frac{S}{t}=V_1+\frac{\Delta V}{2}$              $V_{cp}=V_1+\frac{\Delta V}{2}$            (1)

Получили то, что в общем-то можно было написать и без выводов:

при равноускоренном движении средняя скорость равна половине суммы начальной и конечной скорости или же равна  начальной скорости, плюс половина прироста скорости на участке.

Подставим данные в (1)     $54=V_1+\frac{36}{2}$          $V_1=36$ км/ч      $V_1=10$ м/с

Известна формула пути при равноускоренном движении:

$S=\frac{V_2^2-V_1^2}{2a}$            (2)

Пусть искомая скорость на середине пути равна  Vx. 

От начала участка до середины пути расстояние $\frac{S}{2}$.  

По аналогии с формулой (1) для половины пути можем записать:

$\frac{S}{2}=\frac{V_x^2-V_1^2}{2a}$      (3)

Весь путь на участке спуска равен произведению  средней скорости на время проследования участка.

$S=V_{cp}*t$              (4)

Ускорение можем выразить формулой:  

 $a=\frac{\Delta V}{t}$           (5)

Подставляем (4) и (5) в (3)  и      получаем:  

$\frac{V_{cp}t}{2}=\frac{V_x^2-V_1^2}{2*\frac{\Delta V}{t}}$

Далее, после активных дебатов в комментариях, коллективно пришли к правильному решению . Правильные формулы - на желтом фоне.  

$V_x^2-V_1^2=\Delta V*V_{cp}$

$V_x=\sqrt{V_{cp}\Delta V+V_1^2}$     

$V_x=\sqrt{V_{cp}\Delta V+V_1^2}$  

$V_x=\sqrt{15*10+10^2}\approx 15,8$ м/с

$V_x=\sqrt{15*10+10^2}\approx 15,8$ м/с

Ответ:  15,8 м/с