Прямоугольный брусок высотой 15 см плавает в воде, погрузившись на 3/4 объема. Сверху наливают слой бензина толщиной 1.5 см. Найти высоту выступающей части бруска над поверхностью бензина. Плотности бензина и воды принять равными соответственно 700 кг/м^3 и 1000 кг/м^3. Ответ дать в сантиметрах (см). Горизонтальность верхней грани бруска обеспечивается незначительным внешним воздействием.
Обозначим $\rho_1,\;\rho_2,\;V,\;H,\;\rho_3\;h$ - соответственно плотность воды, плотность, объем и высоту бруска, плотность и высоту слоя бензина.
В начальном состоянии сила тяжести, действовавшая на брусок, уравновешивалась выталкивающей силой:
$mg=\rho_1*\frac{3}{4}V*g$ (1),
где m - масса бруска.
Если массу бруска выразить через его плотность и объем, то (1) можно переписать в виде (2):
$\rho_2Vg=\rho_1*\frac{3}{4}V*g$ (2) $\rho_2=\frac{3\rho_1}{4}$ (3)
После долива бензина на брусок будет воздействовать дополнительная выталкивающая сила.
Объем бруска можно выразить произведением площади основания на высоту: V=HS (4).
Тогда объем части бруска, находящейся в бензине: $V_3=hS$ (5)
Из (4): $S=\frac{V}{H}$ Подставим его в (5): $V_3=\frac{h}{H}V$ (6)
После доливки бензина над уровнем жидкости всплывет дополнительно объем бруска величиной х. Запишем уравнение равновесия силы тяжести и суммы выталкивающих сил после доливки бензина:
$\rho_2Vg=\rho_3V_3g+\rho_1(0,75V-x)g$ (7)
$x=\frac{\Delta h}{H}V$ где $\Delta h$ - высота подъема бруска вследствие доливки бензина.
$\rho_2Vg=\rho_3\frac{h}{H}Vg+0,75\rho_1Vg-\frac{\rho_1\Delta h}{H}Vg$ (8)
Сократим на Vg:
$\rho_2=\rho_3\frac{h}{H}+0,75\rho_1-\frac{\rho_1\Delta h}{H}$ (9)
Подставим сюда плотность бруска из (3)
$0,75\rho_1=\rho_3\frac{h}{H}+0,75\rho_1-\frac{\rho_1\Delta h}{H}$ (10)
$\Delta h=\frac{\rho_3 h}{\rho_1}$ (11)
Искомая высота выступающей части над поверхностью бензина:
$h_0=H-0,75H+\Delta h=0,25H+\Delta h$ (12)
А вот здесь надо учесть замечание уважаемого Евгения Филина (смотрите внизу комментарии) и исправляйте далее самостоятельно. А Евгению - искренняя благодарность за внимание и конструктивную критику!
$h_0=0,25H+\frac{\rho_3 h}{\rho_1}$ (13)
$h_0=0,25*15+\frac{700*1,5}{1000}=4,8$ см
Что такое 0,25 и откуда оно взялось?
ОтветитьУдалитьВсё просто. Смотрите формулу (12) H-0,75H=0,25H
УдалитьЧто такое 0,25 и откуда оно взялось?
ОтветитьУдалитьА куда вы дели h бензина над водой. 0.25 H было над водой - h бензина + дельтаh = 3,3 см
ОтветитьУдалитьА куда дели слой бензина?
ОтветитьУдалить0,75 H было в воде + h слой бензина -дельта h всплыло
11,25+1,5- 1.05 = 3.3 сверху !!!