Через какое время после прохождения колеблющейся точкой положения равновесия её скорость второй раз станет равной половине своего амплитудного значения (и при этом будет иметь то же, что и в первый раз, направление)? Период колебаний равен 4 с

         Уравнение гармонических колебаний   $x(t)=A\sin(wt)=A\sin(\frac{2\pi}{T}$         (1)

где x(t), A,w,t,T - соответственно значение отклонения от положения равновесия, амплитуда, угловая частота, время, период колебаний. 

         Чтобы найти зависимость скорости колеблющейся точки от времени возьмем производную от (1) по времени:       

$v(t)=\frac{2\pi A}{T}\cos(\frac{2\pi t}{T})$           (2)

Амплитудное значение скорости    $v_{max}=\frac{2\pi A}{T}$

             Значение скорости согласно условию равно половине максимального

     $v=\frac{\pi A}{T}$           (3)

Подставим (3) в (2) и решим уравнение с одним неизвестным t, то есть найдем момент времени, в который значение скорости равно половине амплитудного (максимального) значения скорости

$\frac{\pi A}{T}=\frac{2\pi A}{T}\cos(\frac{2\pi t}{T})$     

$\cos(\frac{2\pi t}{T})=0,5$        $t=\frac{T}{6}$

 Изобразим для наглядности график колебаний точки и скорости. Скорость - красной линией, а отклонение точки от равновесия - синей.

Косинус и соответственно  скорость будет иметь  значение 0,5Vmax и знак + в моменты времени    $t=\frac{\pi}{3}$           $t=\frac{5\pi}{3}$

Как видим, точка проходит положение равновесия в момент $t=\pi$.  Тогда искомое время:

$t_x=\frac{5\pi}{3}-\pi=\frac{2}{3}\pi$

Период $T=2\pi$,  тогда $\pi$ соответствует времени 2 секунды.   Искомое время в секундах:

$t_x=\frac{2*2}{3}\approx 1,33\;c$

Ответ: 1,33 секунды