Нагреватель электрического чайника состоит из двух спиралей. При включении в сеть постоянного напряжения двух спиралей, соединённых параллельно, вода закипает в n раз быстрее, чем при последовательном соединении. Найдите отношение сопротивлений спиралей. Каково наименьшее возможное значение n? Теплообмен с окружающей средой не учитывайте.

Обозначим  $Q,\;U,\;R_1,\;R_2,\;R_{01},\;R_{02},\;t_1,\;t_2$ - соответственно количество теплоты, необходимой для закипания чайника, напряжение сети, сопротивление первой спирали, сопротивление второй спирали, общее сопротивление при параллельном включении, общее сопротивление при последовательном включении, время закипания при параллельном и последовательном включении. 

При параллельном:

      $Q=\frac{U^2}{R_{01}}t_1=\frac{U^2t_1}{\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}}$              (1)

При последовательном: 

$Q=\frac{U^2}{R_{02}}t_2=\frac{U^2nt_1}{R_1+R_2}$            (2)

Приравняем правые части (1) и (2):
     
$\frac{U^2t_1}{\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}}=\frac{U^2nt_1}{R_1+R_2}$                 (3)

$\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}=\frac{n}{R_1+R_2}$           $(R_1+R_2)^2=nR_1R_2$


                      $R_1^2+R_1R_2(2-n)+R_2^2=0$            (4)

Поделим почленно (4) на произведение $R_1R_2$

$\frac{R_1}{R_2}+(2-n)+\frac{R_1}{R_1}=0$              (5)

Для удобства обозначим искомое отношение $\frac{R_1}{R_2}=x$
   

 Тогда выражение (5) приобретает вид:

$x+(2-n)+\frac{1}{x}=0$             (6)


$x^2+(2-n)x+1=0$          (7)

Выражение (7) представляет собой квадратное уравнение. Займемся его решением.

$x_{1,2}=-\frac{2-n}{2}\pm\sqrt{(\frac{2-n}{2})^2-1}$         (8)

Ответ:

Дискриминант положителен при $n\geq 4$ то-есть наименьшее возможное значение n=4,

$\frac{R_1}{R_2}=-\frac{2-n}{2}\pm \sqrt{(\frac{2-n}{2})^2-1}$           (9)