Лестница длиной 5 метров и массой 10 кг прислонена к гладкой стене, верхний конец находится на высоте 3,5 метра, нижний конец упирается в шероховатый пол, коэффициент трения 0,25. Человек массой m= 80 кг поднимается вверх по лестнице. На какую максимальную высоту он сможет подняться, прежде чем лестница начнет скользить?

Условие равновесия лестницы: сумма сил равна нулю и сумма моментов сил равна нулю.

$N_2-F_{TP}=0$  

$N_2=F_{TP}$ 

           $F_{TP}=\mu N_1=\mu(mg+Mg)$            (1)

Точка опоры - точка касания пола.  Моменты сил относительно точки опоры равны произведению силы на плечо (на расстояние от точки опоры:

$M_{N_1}=(mg+Mg)*0=0$                (2)

$M_{mg}=mg\frac{h}{tg\alpha}$            (3) 

$M_{N_2}=\mu(mg+Mg)L\cos\alpha$          (4)

Приравняв правые части  (3) и (4) получим уравнение, из которого можно выразить h:

$h=\frac{\mu(m+M)L\sin\alpha}{m}$            (5)             $\sin\alpha=\frac{H}{L}$         (6)

$h=\frac{\mu(m+M)H}{m}$             (7)

$h=\frac{0,25*(80+10)*3,5}{80}\approx 0,98$ м