Материальная точка совершает гармонические колебания по закону x=1,2cos(2пt/3 + п/4) см. Найти амплитуду колебаний скорости и ускорения.

Общий вид уравнения, описывающий гармонические колебания: 

$x(t)=A\cos(wt+\phi_0)$           (1) 

где $x,\;t,\;A,\;w,\;\phi_0$  - соответственно положение точки относительно начала осчета оси координат, время, амплитуда, круговая частота, начальная фаза колебаний. 

Сравнив (1) с заданным уравнением, приходим к выводу, что амплитуда колебаний А=1,2 см, круговая частота w=2п/3, а начальная фаза  $\phi_0=\frac{\pi}{4}$ 

Если продифференцировать (1) по времени, то получим уравнение, описывающее, как изменяется скорость  колеблющейся точки  во времени:

$v(t)=\frac{d(0,012\cos(\frac{2\pi}{3}*t+\frac{\pi}{4})}{dt}=-0,012*\frac{2\pi}{3}\sin(\frac{2\pi}{3}*t+\frac{\pi}{4})$            (2)

Амплитуда колебаний скорости - это максимальное значение скорости. Проанализировав (2), приходим к выводу, что скорость будет иметь максимальное значение, когда синус выражения в скобках будет равен единице. Следовательно, амплитуда колебаний скорости (а это есть модуль величины, знак нас не интересует):

$v_{max}=\frac{0,012*2\pi}{3}\approx 0,025$ м/с  

Амплитуду ускорения найдем, продифференцировав (2) по времени:

$a(t)=\frac{d(v(t))}{dt}$

$a(t)=\frac{d(-0,012*\frac{3\pi}{4}\sin(\frac{3\pi}{4}t+\frac{\pi}{4}))}{dt}=-0,012*\frac{9\pi^2}{16}\cos(\frac{3\pi}{4}t+\frac{\pi}{4})$            (3)

Тогда амплитуда колебаний скорости составляет:

$a_{max}=0,012*\frac{9\pi^2}{16}\approx 0,067$ м/с^2