Определить максимальное ускорение аmax материальной точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой А =15 см, если наибольшая скорость точки v=30 см/с. Написать также уравнение колебаний.

Уравнение гармонических колебаний в общем виде выглядит так:

$x(t)=A\sin(wt+\phi_0)$            (1)

     

где x(t) - координата точки в момент времени t, А - амплитуда колебаний, w - круговая частота колебаний, фо - начальная фаза колебаний.

Первая производная по времени от (1) дает скорость, а вторая - ускорение:

$v=\frac{d(x(t))}{dt}=Aw\cos(wt+\phi_0)$             (2)

Из (2) очевидно, что наибольшего значения скорость достигнет при значении косинуса равном единице.  Тогда можем записать:

$v_{max}=Aw$              (3)

Из (3) можем найти             $w=\frac{v_{max}}{A}=\frac{0,3}{0,15}=2$  рад/с

Производная от (2) даст нам значение  ускорения:

$a=\frac{d(Aw\cos(wt+\phi_0))}{dt}=-Aw^2\sin(wt+\phi_0)$               (4)

Очевидно из (4), что максимальное значение ускорения будет при значении синуса равном -1.

$a_{max}=Aw^2$              (5)

$a_{max}=0,15*2^2=0,6$  м/с^2

Уравнение гармонических колебаний нашей точки будет выглядеть с учетом (1) и заданных и найденных значений:

$x(t)=0,15\sin(2t+\phi_0)$  

Поскольку в условии ничего не сказано о начальной фазе, в случае если она равна нулю, уравнение будет иметь такой вид:

$x(t)=0,15\sin(2t)$