Десять одинаковых резисторов соединены в кольцо. К местам соединения стали подключать клеммы омметра. Оказалось, что наибольшее его показание R = 200 Ом. Каково наименьшее возможное показание омметра (не нулевое!)?

К каким  бы точкам не подключался омметр, в любом случае цепь будет представлять собой параллельное соединение двух последовательных ветвей.

Сопротивление каждой ветви равно сумме сопротивлений входящих в эту ветвь резисторов.  Если у нас 10 одинаковых сопротивлений величиной R, а в одну ветвь входит n сопротивлений из имеющихся 10, то сопротивление одной ветви Rx=nR,  а другой ветви Ry=(10-n)R.

Таким образом, мы представили каждую из двух последовательных ветвей в виде двух эквивалентных сопротивлений Rx и Ry.

При параллельном включении двух сопротивлений общее сопротивление определяется формулой:

  $$R_0=\frac{R_xR_y}{R_x+R_y}$$              

Тогда  можем записать зависимость общего сопротивления для нашего случая от величины сопротивления R и количества сопротивлений в ветви n:

$$R_0=\frac{nR*(10-n)R}{nR+(10-n)R}$$               $$R_0=\frac{n(10-n)R}{10}$$

По условию Ro=200 Ом. 

$\frac{n(10-n)R}{10}=200$                   $(1)$   

Полученная функция согласно условию задачи имеет экстремум (сопротивление максимально). Тогда производная от нее по n равна нулю. Продифференцируем ее по n и приравняем нулю:

$$2nR-10R=0$$           $$n=5$$

Получаем, что сопротивление максимально в случае, когда в каждой ветви по пять резисторов, что соответствует подключению омметра в точках 1 и 2.

Величина каждого из 10 сопротивлений находится путем подстановки в уравнение (1)

$$R_0=80\;Ом$$

В случае параллельного соединения сопротивлений общее сопротивление всегда меньше меньшего из двух сопротивлений, входящих в параллельное соединение.  Тогда минимальное сопротивление будет при подключении омметра к точкам 3 и 4.  В этом случае в одной ветви будет 80 Ом, а в другой 9*80=720 Ом

$$R_0=\frac{80*720}{80+720}=72\;Ом$$