Конькобежец проходит 450 м с постоянной скоростью v, а затем тормозит до остановки с ускорением 0,5 м/с^2. При некотором значении скорости v общее время движения конькобежца будет минимально. Чему равно это время?

Общее время состоит из времени движения с постоянной скоростью и времени движения с торможением до полной остановки:

$t=t_1+t_2$           (1)

$t_1=\frac{S_1}{v}           (2)

Поскольку движение на втором участке идет до полной остановки, можем записать:

$v-at_2=0$            (3)

$t_2\frac{v}{a}$         (4)

$t_2=\frac{v}{0,5}=2v$         (5)

Подставим (2) и (5)  в (1) и получим зависимость (функцию) общего времени от скорости:

$t=\frac{450}{v}+2v$                   (6)

Чтобы найти при каком значении скорости время будет минимальным, воспользуемся тем, что в тот момент, когда функция достигает максимума или минимума, ее производная обращается в нуль.  Продифференцируем (6) по скорости и приравняем нулю:

$\frac{dt}{dv}=-\frac{450}{v^2}+2=0$

$-450+2v^2=0$

$v^2=225$

$v=15$ м/с

Подставим (9) в (6) и получим ответ на задачу:

$t=\frac{450}{15}+2*15=30+30=60\;c$