Под тяжелый тонкий поршень, скользящий без трения внутри вертикально расположенного откачанного цилиндра, вводится смесь водорода (M1=0.002 кг/моль ) и гелия (М2=0,004 кг/моль), при этом поршень располагается посередине цилиндра.

Под тяжелый тонкий поршень, скользящий без трения внутри вертикально расположенного откачанного цилиндра, вводится смесь водорода (M1=0.002 кг/моль ) и гелия (М2=0,004 кг/моль), при этом поршень располагается посередине цилиндра. С течением времени поршень смещается вниз, так как материал, из которого он изготовлен, оказался проницаемым только для гелия. Окончательное положение равновесия поршня находится на 1/3 высоты цилиндра. Определите массу гелия, если водорода в смеси m1=2 г

Множество нескольких различных газов, между которыми невозможно осуществить химическое взаимодействие, называют смесью идеальных газов. Давление рассчитывается по формуле:

$P_i=\frac{N_ikT}{V}$,

где i = 1, 2, ....

r – число газов в смеси;

N – число молекул i-го газа;

V – объем смеси;

k – постоянная Больцмана;

Т – температура.

Будем обозначать величины двойными индексами, причем, относящиеся к водороду - первой цифрой индекса 1, а к гелию - 2, а второй цифрой индекса - 1 - величины вначале  опыта, а 2 - в конце.

Тогда можем составить уравнения с учетом законов Менделеева-Клапейрона и Дальтона:

$\frac{m_0g}{S}+P_0=P_{11}+P_{21}$                  (1)

$\frac{m_0g}{S}+P_0=P_{12}+P_{22}$                  (2)

где $m_0,\;P_0,\;g,\;S$ - соответственно масса поршня, атмосферное давление, ускорение земного тяготения, площадь поршня. 

$P_{11}=\frac{N_{11}kT}{V_1}$       (3)           $P_{21}=\frac{N_{21}kT}{V_1}$           (4)

$P_{12}=\frac{N_{12}kT}{V_2}$       (5)         $P_{22}=\frac{N_{22}kT}{V_2}$            (6)

Левые части (1) и (2) одинаковы, значит можем приравнять их правые части:

$P_{11}+P_{21}=P_{12}+P_{22}$               (7)

$\frac{N_{11}kT}{V_1}+\frac{N_{21}kT}{V_1}=\frac{N_{12}kT}{V_2}+\frac{N_{22}kT}{V_2}$                (8)

Можем (8) сократить на kT и получим уравнение:

$\frac{N_{11}}{V_1}+\frac{N_{21}}{V_1}=\frac{N_{12}}{V_2}+\frac{N_{22}}{V_2}$       (9)

С учетом того, что по условию задачи количество молекул  

$N_{11}=N_{12}$     $N_{22}=0$ 

уравнение (9) принимает вид   (10):

$\frac{N_{11}}{V_1}+\frac{N_{21}}{V_1}=\frac{N_{11}}{V_2}$         (10)

Откуда находим:

$N_{21}=(\frac{V_{11}}{V_2}-\frac{N_{11}}{V_1})V_1=N_{11}(\frac{V_1}{V_2}-1)$     (11)

Пусть объем цилиндра V.   Тогда по условию задачи

$V_1=\frac{1}{2}V$            $V_2=\frac{1}{3}V$   

Уравнение (11) принимает вид (12)

$N_{21}=0,5N_{11}$               (12)

Количество молекул водорода будет равно массе водорода, деленной на массу одной молекулы водорода, поэтому 

$N_{21}=0,5*\frac{m_H}{m_{0H}}$               (13)

Искомая масса гелия, соответственно, будет равна количеству молекул гелия, умноженному на массу одной молекулы гелия:

$m_{He} = 0,5*\frac{m_H*m_{0He}}{m_{0H}}$            (14)

Массы молекул гелия и водорода гуглим.    Масса водорода задана в условии. Все в формулу (14) и калькулятор в руки.