Однородный конус массой 18 кг плавает в воде, плотность которой 1000 кг/м^3, вершиной вниз. Определить высоту выступающей над водой части конуса, если высота конуса равна 1 м, а площадь основания равна 0,25 м^2.

Немного поразмыслив, легко прийти к выводу, что масса объема воды, вытесняемой погруженной частью конуса, должна равняться массе конуса. А дальше нам не обойтись без интеграла. Конус можно представить как фигуру вращения, образованную вращением боковой образующей вокруг оси ОХ:

Отрезок АВ лежит на прямой  y=kx+c,  где $k=tg\alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{R}{H}$   и с=0, так как прямая проходит через точку (0;0). 

Таким образом уравнение прямой имеет вид

$y(x)=\frac{R}{H}x$

Объем конуса выразим, как объем тела вращения:

$V=\pi\int_a^by^2(x)dx$          (1)

Заменив x на текущую высоту h, получаем зависимость объема конуса от высоты

$V=\pi\int_0^h(\frac{R}{H}h)^2dh$             (2)

$V=\frac{\pi R^2h^3}{3H^2}$          (3)

Масса вытесненной воды равна произведению объема (3) на плотность воды и при этом она должна равняться массе всего конуса:

$\frac{\pi \rho R^2h^3}{3H^2}=M$      (4)

Тогда высота подводной части конуса:

$h=\sqrt[3]{\frac{3H^2M}{\pi\rho R^2}}$              (5)      

Искомая высота надводной части:

$h_0=H-\sqrt[3]{\frac{3H^2M}{\pi\rho R^2}}$               (6)

$\pi R^2=S$

$h_0=H-\sqrt[3]{\frac{3H^2M}{\rho S}}$               (7)

Все данные для формулы (7) есть в условии.  Подставляйте и калькулятор Вам в помощь.

$h_0=1-\sqrt[3]{\frac{3*1^2*18}{1000*0,25}}=0,4$  м