Шар и полый цилиндр одинаковой массы катятся равномерно без скольжений по горизонтальной поверхности и обладают одинаковой кинетической энергией. Во сколько раз отличаются их линейные скорости?

Среди множества задач по физике часто встречаются задачи, где рассматривается плоское движение.  Плоскопараллельным  или  плоским называют движение твердого тела, при  котором  все  точки  тела  движутся  в  плоскостях,  параллельных   некоторой  неподвижной  плоскости.

         Плоское    движение  тел  является одним из наиболее распространенных в технике.  Плоское движение совершают тела качения  ( колеса,  катки,  цилиндры )  на  прямолинейном  участке пути;  отдельные детали  механизмов,  предназначенных  для преобразования вращательного движения одного тела в поступательное  или колебательное  другого;  шестерни  планетарных  передач. 

При плоском движении кинетическая энергия движущегося твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения.

Качение шара без проскальзывания удобно представить как сумму движения всех точек тела шара поступательно в одном направлении и с одной скоростью (первое слагаемое на рисунке ниже)  и  вращательного движения  вокруг центра (второе слагаемое)

   

Если тело участвует в поступательном и вращательном движении одновременно, то его кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

$E=\frac{mv^2}{2}+\frac{Iw^2}{2}$               (1)

Для шара    $I=\frac{2}{5}mR^2$   

Для полого цилиндра   $I=mR^2$  

Обозначим $m,\;v,\;u,\;R_c,\;R_s,\;w_c,\;w_s$ - соответственно массу цилиндра и шара, скорость линейного перемещения оси (центра) шара, скорость линейного перемещения оси цилиндра, радиус цилиндра, радиус шара, угловую скорость цилиндра, угловую скорость шара. 

Кинетическая энергия шара:

$E_k=\frac{mv^2}{2}+\frac{I_sw^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+\frac{2mR_s^2w_s^2}{5*2}=\frac{mv^2}{2}+\frac{mR_s^2w_s^2}{5}$               (2)

С учетом того, что $w_sR_s=v$   выражение (2) приобретет вид:

$E_s=\frac{mv^2}{2}+\frac{mv^2}{5}=\frac{7mv^2}{10}$            (3)

Кинетическая энергия цилиндра:

$E_c=\frac{mu^2}{2}+\frac{I_cw_c^2}{2}=\frac{mu^2}{2}+\frac{mR_c^2w_c^2}{2}$          (4)

С учетом того, что $w_cR_c=u$    выражение (4) приобретет вид:

$E_c=\frac{mu^2}{2}+\frac{mu^2}{2}=mu^2$      (5)

По условию задачи   $E_c=E_s$,    то есть   (3)=(5):

$\frac{7mv^2}{10}=mu^2$          (6)

Из (6) можем найти ответ на эту задачу по физике:

$\frac{u}{v}=\sqrt{\frac{7}{10}}\approx 0,84$