Два шара падают один за другим через малый промежуток времени с высоты Н на твердый пол, масса второго шара во много раз меньше массы первого шара. На какую максимальную высоту поднимается второй шар после столкновения с первым шаром, отскочившим от пола? Столкновения шара с полом и второго шара с первым шаром совершенно упругие. размеры шаров пренебрежимо малы по сравнению с высотой Н.

В момент столкновения оба шара будут иметь одинаковую скорость, точнее модуль скорости, а направление, конечно, встречное. Поверим это. 

Большой шар изначально, на высоте Н обладает потенциальной энергией MgH.
В момент удара о пол потенциальная энергия  полностью перейдет в кинетическую

$\frac{Mv_0^2}{2}=MgH$ 

Тогда начальная скорость большого шара в момент отрыва от пола

$v_0=\sqrt{2gH}$

Путь при равноускоренном движении можно выразить через скорости в начальный и текущий момент:

$h=\frac{v_0^2-v^2}{2g}$

Отсюда может быть выражена скорость большого шара на высоте столкновения шаров h

$v=\sqrt{v_0^2-2gh}=\sqrt{2gH-rgh}=\sqrt{2g(H-h)}$

Скорость второго шара на высоте h при падении его с высоты Н

$u=\sqrt{2g(H-h)}$

Как видим, скорости шаров одинаковы по величине (по модулю).

Скорость второго шара относительно первого в момент их столкновения равна его удвоенной скорости относительно пола

$U_0=2\sqrt{2g(H-h)}$

Удар совершенно упругий по условию и масса второго шара пренебрежительно мала, по сравнению с первым, тогда после столкновения это и будет начальная скорость второго шара. Зная начальную скорость тела при движении его вертикально вверх, можем выразить 

максимальную высоту его подъема

$h_m=\frac{U_0^2}{2g}=\frac{(2*\sqrt{2g(H-h)})^2}{2g}=\frac{4*(2g(H-h))}{2g}=4(H-h)$

С учетом того, что столкновение шаров произошло на высоте h, можем записать выражение, описывающее зависимость  высоты подъема второго шарика после столкновения с первым относительно пола

$h_x=4(H-h)+h=4H-3h$

Анализируя полученную формулу, приходим к выводу, что максимальная высота подъема второго шарика после столкновения с первым зависит от высоты, на которой произошло столкновение.

Максимальная высота составит 4Н, причем это будет в том случае, когда столкновение произойдет на уровне стола, точнее в момент отрыва первого шарика от пола