В свободном пространстве металлическая сфера массой M = 100 кг и радиусом R = 1 м. В центре этой сферы помещена лампочка мощностью Qo = 100 кВт, а в стенке сферы проделано круглое отверстие площадью S = 1 см^2 Определите, с каким ускорением будет двигаться сфера.

В фантастической литературе существуют описания фотонных двигателей космических кораблей, у которых из сопла выбрасывается не струя раскаленных газов, а мощный световой пучок. Попробуем и мы оценить возможности таких способов реактивного движения. Представим себе в свободном пространстве металлическую сферу массой M = 100 кг и радиусом R = 1 м. В центре этой сферы помещена лампочка мощностью Qo = 100 кВт, а в стенке сферы проделано круглое отверстие площадью s = 1 см^2

Определите, с каким ускорением будет двигаться наша сфера.

Принять скорость света равной с = 3⋅10^8 м/c.

Ускорение попытаемся определить по второму закону Ньютона:  

$a=\frac{F}{m}$            (1)

Масса есть в условии, а силу найдем как изменение импульса:

$\frac{dP}{dt}$              (2)

Изменение импульса в нашем случае равно сумме импульсов всех фотонов света, вышедших через отверстие в сфере в единицу времени (за секунду)

Импульс фотона:     $P_0=mc$,            (3)

где m - масса фотона, с- скорость света

Энергия фотона:     $E_0=mc^2$             (4)

Импульс фотона может быть выражен через энергию так:      

$P_0=\frac{E_0}{c}$              (5)

Определим мощность световой энергии, приходящейся на площадь отверстия.

Площадь сферы:    $S=4\pi R^2$             (6)

Мощность, приходящаяся на площадь отверстия:

$Q=\frac{s}{S}Q_0$               (7)

где Qo - мощность лампочки

$Q_s=\frac{sQ_0}{4\pi R^2}$                (8)

С другой стороны, мощность - это работа в единицу времени, а работа - это изменение энергии

Таким образом, (8) и есть изменение энергии в единицу времени или по сути суммарная энергия всех фотонов, вышедших через отверстие в единицу времени.

$\frac{dE}{dt}=\frac{sdQ_0}{4\pi R^2}$            (9)

По аналогии с (5) суммарное изменение импульса составит:

$\frac{dP}{dt}=\frac{dE}{cdt}=\frac{sQ_0}{4\pi cR^2}$         (10)

Согласно (2) выражение (10) и есть сила:

$F=\frac{sQ_0}{4\pi cR^2}$               (11)

Искомое ускорение согласно (1) составит:

$a=\frac{sQ_0}{4\pi cMR^2}$               (12)

$a=\frac{10^{-4}*100*10^3}{4*3,14*3*10^8*100*1^2}\approx 26,5*10^{-12}\;\text{м/с}^2$