Один миллион сферических капелек сливаются в одну каплю. Радиус каждой капельки 5.0 × 10^-4 см,заряд 1.6 ×10^-14 Кл. Какая энергия расходуется на преодолении электрических сил отталкивания при их соединении?

Для решения этой задачи вспомним из курса физики,  что потенциал электрического поля в данной точке численно равен работе, которую надо выполнить при перемещении пробного единичного заряда из бесконечности в данную точку или из данной точки в бесконечность:

$\phi=\frac{A}{q}$         (1)

Работа по сути есть изменение энергии:

$A=\Delta W$                      (2)

Нам понадобится еще закон сохранения электрического заряда.   Зако́н сохране́ния электри́ческого заря́да гласит, что алгебраическая  сумма зарядов электрически замкнутой системы сохраняется.

$q_1+q_2+q_3+.......+q_n=const$  

Таким образом, заряд капли Q, получающейся в результате слияния миллиона капелек  с зарядом каждой будет равен:

$Q=\sum\limits_{i=1}^n q_i=nq_i$            (3)

где $q_i$  - заряд капельки.

Потенциал, создаваемый системой n одинаковых зарядов (миллионом отдельных капелек - сфер радиусом $r_i$):

$\phi=\sum\limits_{i=1}^n \phi_i=\frac{nq_i}{4\pi\varepsilon_0r_i}$        (4)

Потенциал большой капли - сферы радиуса R:

$\Phi=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}$            (5)

Надо выразить радиус капли R.  Очевидно, что суммарный объем всех капелек и будет равен объему капли:

   $\frac{4}{3}\pi r_i^3n=\frac{4}{3}\pi R^3$           $R=r_i\sqrt[3]{n}$           (6)  

Подставим (6) в (5):

$\Phi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r_i\sqrt[3]{n}}$            (7)

С учетом (1) , (2),  (3), (4) и (7) можем записать:

$\Delta W=Q*(\Phi-\phi)=Q*(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r_i\sqrt[3]{n}}-\frac{n q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_i})$                  (8)

$\Delta W=n*q_i*(\frac{n*q_1}{4\pi\varepsilon_0 r_i \sqrt[3]{n}}-\frac{n*q_1}{4\pi \varepsilon_0 r_i})$

$\Delta W=\frac{n^2q_i^2}{4\pi \varepsilon_0}*(\frac{1}{\sqrt[3]{n}}-1)$           (9)

$\Delta W=\frac{(10^6)^2*(1,6*10^{-14})^2}{4*3,14*8,85*10^{-12}}*(\frac{1}{\sqrt[3]{10}}-1)\approx -2,3*10^{-6}$ Дж

Минус говорит о том, что энергию на что-то потратили, а потратили ее на преодоление сил отталкивания одинаково заряженных капелек при соединении в одну каплю.