Шар подвешен на невесомой нерастяжимой нити длиной l = 0,5 м. Какую минимальную горизонтально направленную скорость vo надо сообщить шару, чтобы он сделал полный оборот в вертикальной плоскости?

Чтобы шар в верхней точке не упал вниз надо чтобы сила инерции шара была не меньше силы тяжести:

$\frac{mv^2}{R}\geq mg$          (1)      

где m, v, R, g - соответственно масса шара,  скорость в верхней точке, радиус окружности вращения, ускорение земного тяготения.

Откуда  получаем          $v^2\geq Rg$         (2)

В верхней точке шар помимо кинетической энергии движения по окружности будет обладать еще и потенциальной энергией:

$E_p=mgh=mg*2l=2mgl$          (3)

Теперь имеем возможность записать уравнение по закону сохранения энергии, которое словами можно сформулировать так:

Начальная кинетическая энергия шара будет равна сумме кинетической и потенциальной энергии в верхней точке окружности вращения:

$\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+mgh$  

Или с учетом (2) и (3):

$\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mRg}{2}+2mgl$          (4)               

Учитывая, что R=l, сократив (4) на m и почленно умножив на 2 получаем:

$v_0^2=gl+4gl$

$v_0=\sqrt{5gl}$

$v_0=\sqrt{5*10*0,5}=5$  м/с