За интервал времени Δt после начала движения амплитуда затухающих колебаний уменьшилась вдвое. Как за это время изменилась механическая энергия осциллятора? За какое время энергия уменьшится вдвое?
Энергия колебаний осциллятора выражается формулой:
$E=\frac{kA^2}{2}$ (1)
где k - коэффициент пропорциональности (в случае пружинного осциллятора - коэффициент жесткости пружины), А - амплитуда.
По условию $A_1=2A_2$, тогда отношение энергий до и после:
$n=\frac{E_1}{E_2}=\frac{\frac{kA_1^2}{2}}{\frac{kA_2^2}{2}}=\frac{(2A_2)^2}{A_2^2}=4$
т.е, если амплитуда уменьшится в 2 раза, то энергия уменьшится в 4 раза.
Общий вид уравнения, выражающего зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени:
$A(t)=A_0e^{-at}$
где Ао - начальная амплитуда, t - время, a - коэффициент затухания.
Тогда можем записать для амплитуд с интервалом времени дельта t:
$A_1=A_0e^{-at}$ $A_1=A_0e^{-a(t+\Delta t)}$
Отношение амплитуд (во сколько раз изменилась амплитуда):
$\frac {A_1}{A_2} = \frac{A_0e^{-at}}{A_0e^{-a(t +\Delta t)}}=\frac{e ^{-at}}{e^{-at}e^{-a\Delta t}} = \frac{1}{e^{-a\Delta t}}$
$\frac{A_1}{A_2}=2$
$\frac {1}{e^{-a\Delta t}}=2$
$\frac {1}{e^{-a\Delta t}}=2$
$e^{-a\Delta t}=\frac {1}{2}$
$a=\frac{\ln 2}{\Delta t}$
$\ln e^{a\Delta t}=\ln 2$
Тогда коэффициент затухания составляет:
$a=\frac{ln 2}{\Delta t}$ (2)
Определим, за какое время энергия колебаний уменьшится в 2 раза. Обратимся снова к уравнению (1). Тогда можем записать с учетом условия:
$\frac{\frac{A_1^2}{2}}{\frac{A_2^2}{2}}=2$ $A_1=A_2\sqrt{2}$
$\frac{A_1}{A_2}=\sqrt{2}$
$\frac {A_0e^{- at}}{A_0e^{- a(t+\tau)}}=\sqrt{2}$ (3)
Из (3) с учетом (2) получаем, что энергия уменьшится вдвое за время:
$\tau=\frac{\Delta t\ln{\sqrt{2}}}{\ln{2}}$
Комментарии
Отправить комментарий
Здесь вы можете оставить ваш комментарий.