За интервал времени Δt после начала движения амплитуда затухающих колебаний уменьшилась вдвое. Как за это время изменилась механическая энергия осциллятора? За какое время энергия уменьшится вдвое?

Энергия колебаний осциллятора выражается формулой:

$E=\frac{kA^2}{2}$                (1)

  где k - коэффициент пропорциональности (в случае пружинного осциллятора - коэффициент жесткости  пружины), А - амплитуда.

По условию  $A_1=2A_2$, тогда отношение энергий до и после:

$n=\frac{E_1}{E_2}=\frac{\frac{kA_1^2}{2}}{\frac{kA_2^2}{2}}=\frac{(2A_2)^2}{A_2^2}=4$

  

т.е, если амплитуда уменьшится в 2 раза, то энергия уменьшится в 4 раза.

Общий вид уравнения, выражающего зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени:

$A(t)=A_0e^{-at}$        

где Ао - начальная амплитуда, t - время, a - коэффициент затухания.

 Тогда можем записать для амплитуд с интервалом времени дельта t:

$A_1=A_0e^{-at}$                $A_1=A_0e^{-a(t+\Delta t)}$             

Отношение амплитуд (во сколько раз изменилась амплитуда):

$\frac {A_1}{A_2} = \frac{A_0e^{-at}}{A_0e^{-a(t +\Delta t)}}=\frac{e ^{-at}}{e^{-at}e^{-a\Delta t}} = \frac{1}{e^{-a\Delta t}}$

$\frac{A_1}{A_2}=2$  

   $\frac {1}{e^{-a\Delta t}}=2$

$e^{-a\Delta t}=\frac {1}{2}$   

$a=\frac{\ln 2}{\Delta t}$   

                                                     $\ln e^{a\Delta t}=\ln 2$

 Тогда коэффициент затухания составляет:

$a=\frac{ln 2}{\Delta t}$              (2)

Определим, за какое время энергия колебаний уменьшится в 2 раза.   Обратимся снова к уравнению (1). Тогда можем записать с учетом условия:

$\frac{\frac{A_1^2}{2}}{\frac{A_2^2}{2}}=2$              $A_1=A_2\sqrt{2}$

$\frac{A_1}{A_2}=\sqrt{2}$       

   $\frac {A_0e^{- at}}{A_0e^{- a(t+\tau)}}=\sqrt{2}$         (3)

Из (3) с учетом (2) получаем, что энергия уменьшится вдвое за время: 

$\tau=\frac{\Delta t\ln{\sqrt{2}}}{\ln{2}}$