Астронавты играют в футбол на планете радиуса R. Когда лежащий на поверхности планеты мяч поднимается после удара на высоту h, он находится в полете в течение времени t. Чему равна первая космическая скорость V1 для этой планеты?

Высота определяется формулой:      

$g=G\frac{M}{R^2}$             (2)

$h=\frac{gt^2}{2}$,  

где g  - ускорение свободного падения на этой планете.    Откуда 

$g=\frac{2h}{t^2}$                 (1)

В соответствии с законом всемирного тяготения, значение гравитационного ускорения на поверхности Земли или другой планеты можно связать с массой планеты M следующим соотношением:

где G — гравитационная постоянная (6,6742·10⁻¹¹ м³с⁻²кг⁻¹), а R— радиус планеты. 

  (1)  =  (2)

$\frac{2H}{t^2}=G\frac{M}{R^2}$           $M=\frac{2hR^2}{Gt^2}$              (3)

Пе́рвая косми́ческая ско́рость (кругова́я ско́рость) — минимальная скорость, которую необходимо придать объекту, чтобы вывести его на геоцентрическую орбиту. Иными словами, первая космическая скорость — это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите. В случае круговой орбиты центростремительная сила, вычисляемая из условия вращательного движения должна быть равна силе тяготения. Отсюда, приравниванием этих формул, вычисляется скорость.

$m\frac{v_1^2}{R}=G\frac{Mm}{R^2}$                $v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}$           (4)

где m — масса объекта, M — масса планеты, G — гравитационная постоянная, $v_1$ — первая космическая скорость, R — радиус планеты. 

Подставив (3) в (4), получаем:

$v_1=\frac{\sqrt{2hR}}{t}$