Вал из состояния покоя приводится во вращение вокруг горизонтальной оси с помощью груза, подвешенного на шнуре, предварительно намотанным на вал. Определить момент инерции вала, если груз массой m = 2 кг в течении t = 12 с опускается на расстояние h = 1 м. Радиус вала R = 8 мм. Силой трения пренебречь.

Начальная потенциальная энергия системы по мере падения груза будет переходить в кинетическую энергию прямолинейного равноускоренного движения груза и кинетическую энергию равноускоренного вращения вала:

$W_n=mgh$            $W_k=\frac{mv^2}{2}+\frac{Iw^2}{2}$

$mgh=\frac{mv^2}{2}+\frac{Iw^2}{2}$         (1) 

где       v - скорость падения груза через 12 секунд, т.е. после прохождения пути 1 метр

                        w- угловая скорость вращения системы в тот же момент,

                  I-момент инерции вала.   

Считая движение груза равноускоренным, можно написать:

$h=\frac{at^2}{2}$

где а – ускорение падения груза: t – время падения. 

Следовательно, определив $a=\frac{2h}{t^2}$ и подставив его значение в формулу скорости v=at, получим 

$v=\frac{2h}{t}$      (2)

Линейная скорость вращения точки на внешней поверхности вала равна скорости падения груза. Связь между линейной и угловой скоростями вращения:

v=wr

где r – радиус вала

  $w=\frac{v}{r}=\frac{2h}{rt}$         (3)

Подставляем (2) и (3) в формулу (1):

$mgh=\frac{2mh^2}{t^2}+\frac{2Ih^2}{r^2t^2}$ 

Отсюда получаем:

$I=\frac{mr^2(gt^2-2h)}{2h}$