Небольшая тележка описывает в вертикальной плоскости «мертвую петлю» радиусом 2 м, скатываясь с минимальной высоты, обеспечивающей прохождение всей петли. На какой высоте от нижней точки петли сила давления тележки на рельсы равна 3/2 силы тяжести тележки? Трением пренебречь

В верхней точке петли согласно условию сила тяжести уравновешивается силой давления на рельсы:

$mg=\frac{mv_2^2}{r}$              

где   $m,\;g,\;v_2,r$  - масса тележки, ускорение свободного падения, скорость тележки в верхней точке петли, радиус петли

Запишем второй закон Ньютона в проекции на радиус в точке, где по условию сила давления на рельсы N=3mg/2:

$mg\cos\phi+N_1=\frac{mv_1^2}{r}$            

где $\phi,\;N_1,\;v_1$ -   соответственно угол положения радиуса к вертикали, сила реакции опоры (рельсов) в искомой точке.

Приравняем механическую энергию в точках — вверху на высоте 2r и

на искомой высоте 

$h=r(1+\cos\phi)$

$mg*2r+\frac{mv_2^2}{2}=mg(r+r\cos\phi)+\frac{mv_1^2}{2}$  

Подставив сюда квадраты скоростей, получаем $\cos\phi=\frac{1}{2}$, откуда

$h =\frac{3}{2}r = 3$ м