С какой высоты по наклонному желобу должен скатиться без проскальзывания шарик радиусом 0,1 м, чтобы пройдя мертвую петлю радиусом 3 м, он не оторвался от желоба в верхней точке?

Начальная потенциальная энергия шарика на высоте h равна суме потенциальной энергии шарика в верхней точке мертвой петли на высоте 2R и кинетических энергий поступательного движения шарика и вращательного движения шарика:

$mgh=mg*2R+\frac{mv^2}{2}+\frac{Jw^2}{2}$        (1)

где m -масса, h - высота, v - скорость поступательного движения, J - момент инерции шара,
w - угловая скорость вращательного движения, R - радиус петли

$w=\frac{v}{r}$             $J=\frac{2mr^2}{5}$

$\frac{Jw^2}{2}=\frac{2mr^2v^2}{2*5r^2}=\frac{mv^2}{5}$

$mgh=2mgR+\frac{mv^2}{2}+\frac{mv^2}{5}$         (2)

В верхней точке петли на шарик действуют силы:

1 - сила земного притяжения mg, направленная вниз

2 - сила реакции опоры (желоба)  N, направленная вниз

Тогда, согласно 1 и 2 закону  Ньютона можем записать:

$N+mg=ma$

Однако, нас интересует предельный случай, когда сила реакции опоры в верхней точке петли будет равна нулю.

 Тогда              mg=ma          Значит а=g              (3)

Как известно, центростремительное ускорение определяется формулой

$a=\frac{v^2}{R}$       (4) 

Приравняв (3) и (4) получаем

$g=\frac{v^2}{R}$               $v^2=gR$        (5)  

(5) подставим в (2) и сократим все на m и на  g

$h=2R+\frac{R}{2}+\frac{R}{5}$                $h=2,7R$            $h=8,1$ м