Шарику маятника массы m сообщили минимальную скорость, при которой он еще совершает вращение в вертикальной плоскости. Какова сила натяжения нити маятника T в момент времени, когда нить маятника составляет угол a с вертикалью.
Полная энергия в нижней точке W1 очевидно равна кинетической энергии:
$K_a=\frac{mv_a^2}{2}=\frac{mv_1^2}{2}-mgh=\frac{mv_1^2}{2}-mgr(1-\cos\alpha)$ (7)
Из (7) с учетом (6) следует:
$W_1=\frac{mv_1^2}{2}$ (1)
где v1 - скорость шарика в нижней точке.
Полная энергия верхней точке W2 равна сумме потенциальной энергии шарика, поднятого на высоту двух радиусов, плюс кинетической энергии, создающей натяжение нити и уравновешивающей силу тяжести. (это из условия, что шарику сообщили минимальную скорость, при которой шарик еще совершает круговое движение, т.е. нить маятника не сложилась).
$W_2=mg*2r+\frac{mv_2^2}{2}=2mgr+\frac{mv_2^2}{2}$ (2)
где r - радиус окружности, m - масса шарика.
Сила натяжения нити в верхей точке равна силе тяжести:
$\frac{mv_2^2}{r}=mg$ $v_2=\sqrt{gr}$ (3)
Подставим (3) в (2):
$W_2=\frac{mgr}{2}+2mgr=\frac{5}{2}mgr$ (4)
Согласно закону сохранения энергии: W1=W2, тогда (1)=(4):
$\frac{mv_1^2}{2}=\frac{5}{2}mgr$ (5)
откуда находим начальную скорость, которую сообщили шарику в нижней точке
$v_1=\sqrt{5gr}$ (6)
Кинетическая энергия шарика в точке, при которой нить маятника составляет угол а с вертикалью, равна кинетической энергии в положении равновесия (нижней точке), уменьшенной на величину потенциальной энергии:$K_a=\frac{mv_a^2}{2}=\frac{mv_1^2}{2}-mgh=\frac{mv_1^2}{2}-mgr(1-\cos\alpha)$ (7)
Из (7) с учетом (6) следует:
$v_a^2=5gr-2gr(1-\cos\alpha)=gr(3+2\cos\alpha)$ (8)
Сила натяжения нити равна центробежной силе:
$T_a=\frac{mv_a^2}{r}=\frac{mgr(3+2\cos\alpha)}{r}=mg(3+2\cos\alpha)$
Между формулами (2) и (3) фраза:
ОтветитьУдалить"Сила натяжения нити в верхей точке равна силе тяжести"
неверна!
Вместо неё надо написать фразу:
"Сила натяжения нити в верхей точке равна нулю и поэтому центростремительное ускорение равно ускорению g."
Неверны также самая последняя фраза перед формулой (8):
"Сила натяжения нити равна центробежной силе".
И, как следствие, неверна сама формула (8).
Правильный ответ:
F=m*V^2/r+m*g*cos(alpha)=3*m*g*[1+cos(alpha)]