Шарику маятника массы m сообщили минимальную скорость, при которой он еще совершает вращение в вертикальной плоскости. Какова сила натяжения нити маятника T в момент времени, когда нить маятника составляет угол a с вертикалью.

Полная энергия в нижней точке W1 очевидно равна кинетической энергии:

$W_1=\frac{mv_1^2}{2}$             (1)

где v1 - скорость шарика в нижней точке.

Полная энергия  верхней точке W2 равна сумме потенциальной энергии шарика, поднятого на высоту двух радиусов, плюс кинетической энергии, создающей натяжение нити и уравновешивающей силу тяжести. (это из условия, что шарику сообщили минимальную скорость, при которой шарик еще совершает круговое движение, т.е. нить маятника не сложилась).

$W_2=mg*2r+\frac{mv_2^2}{2}=2mgr+\frac{mv_2^2}{2}$        (2)

 где r - радиус окружности, m - масса шарика.

Сила натяжения нити в верхей точке равна силе тяжести:

$\frac{mv_2^2}{r}=mg$             $v_2=\sqrt{gr}$         (3)

Подставим (3) в (2):

$W_2=\frac{mgr}{2}+2mgr=\frac{5}{2}mgr$        (4)

Согласно закону сохранения энергии:  W1=W2,   тогда   (1)=(4):

$\frac{mv_1^2}{2}=\frac{5}{2}mgr$           (5)

откуда находим начальную скорость, которую сообщили шарику в нижней точке

$v_1=\sqrt{5gr}$            (6)

Кинетическая энергия шарика в точке, при которой нить маятника составляет угол а с вертикалью, равна кинетической энергии в положении равновесия (нижней точке), уменьшенной на величину потенциальной энергии:

$K_a=\frac{mv_a^2}{2}=\frac{mv_1^2}{2}-mgh=\frac{mv_1^2}{2}-mgr(1-\cos\alpha)$           (7)

Из (7) с учетом (6) следует:

$v_a^2=5gr-2gr(1-\cos\alpha)=gr(3+2\cos\alpha)$           (8)

Сила натяжения нити равна центробежной силе:

$T_a=\frac{mv_a^2}{r}=\frac{mgr(3+2\cos\alpha)}{r}=mg(3+2\cos\alpha)$