Найти логарифмический декремент затухания колебаний тонкого стержня, подвешенного за один из его концов, если за промежуток времени t = 5 мин его полная механическая энергия уменьшилась в n = 4 ·10^2 раз. Длина стержня l = 50 см.

Как известно, период колебаний физического маятника в виде стержня:

$T=2\pi\sqrt{\frac{J}{mga}}$                  (1)

         где J, m, g, a - соответственно момент инерции, масса, ускорение земного тяготения, расстояние от точки подвеса до центра масс стержня.

                     $a=\frac{l}{2}$          

Момент инерции по теореме Штейнера:

$J=\frac{1}{12}ml^2+ma^2=m(\frac{l^2}{12}+\frac{l^2}{4})=\frac{ml^2}{3}$          (2)

(2) в (1):    $T=2\pi*\sqrt{\frac{ml^2*2}{3mgl}}=2\pi*\sqrt{\frac{2l}{3g}}$

Максимальная энергия колебаний маятника (у нас в виде стержня)  выражается формулой:

$E=A^2w^2=A^2\frac{(2\pi)^2}{T^2}=A^2*\frac{4\pi^23g}{4\pi^22l}=\frac{3g}{2l}A^2$

 где А, w, Т, l - соответственно амплитуда колебаний, круговая частота, период, длина стержня.

 Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени описывается уравнением:

$A(t)=A_0e^{-at}$            (3)

где Ао, е, а, t - соответственно начальная амплитуда, основание натурального логарифма, коэффициент затухания, время.   

С учетом условия задачи можем записать:

$\frac{E_1}{E_2}=\frac{A_1^2*\frac{3g}{2l}}{A_2^2*\frac{3g}{2l}}=\frac{A_1^2}{A_2^2}=400$

$A_1=20A_2$            (4)

 Тогда с учетом (3)  можем записать:

$A_2=A_1e^{-at}$      

   
Откуда с учетом (4):             $\frac{1}{e^{at}}=\frac{1}{20}$ 

$a=\frac{\ln{20}}{t}=\frac{\ln 20}{300}$

По определению величина аТ есть логарифмический декремент затухания.  Обозначим его b. 

b=aT          

$b=2\pi*\frac{\ln{20}}{300}*\sqrt{\frac{2l}{3g}}=2\pi*\frac{\ln{20}}{300}*\sqrt{\frac{2*0,5}{3*10}}=0,0115$ 

если я не ошибся в арифметических вычислениях.