Конденсатор емкости C = 6 мкФ замыкают через сопротивление R = 6 Ом на ЭДС E = 24 В. Определите заряд на конденсаторе при его полной зарядке, количество выделившейся теплоты при зарядке и постоянную времени.

Для мгновенных значений тока, напряжения и заряда можно записать уравнение по второму закону Кирхгофа:

$ir+u_c=E$               (1)

$i=\frac{dq}{dt}$                  $u_c=\frac{q}{C}$                      

подставим в (1):

$\frac{dq}{dt}R+\frac{q}{C}=E$            (2)

 Для разделения переменных dq и dt уравнение (2) преобразуем, умножив почленно на Cdt:

$RCdq=CEdt-qdt$

$\frac{dq}{C-q}=\frac{dt}{RC}$              (3)

Проинтегрировав это уравнение с учётом начального условия q = 0 при t = 0 и с учётом того, что при изменении времени от 0 до t заряд изменяется от 0 до q, получим

$-\ln\frac{CE-q}{CE}=\frac{t}{RC}$               (4)

После потенцирования получаем:

$q=CE(1-e^{-\frac{t}{RC}})$              (5)

Полная зарядка теоретически будет достигнута через бесконечно большое время.  Но по условию задачи мы и рассматриваем случай, когда конденсатор зарядился полностью (а мы с Вами, стало быть, прожили бесконечно длинную жизнь).   Для этого случая формула (5) сводится к банальной школьной формуле:

$Q=CE$  

Постоянная времени по определению равна:

$\tau=RC$ 

Памятуя,  что ток есть по определению скорость изменения заряда во времени ( i = dq/dt ),

продифференцируем (5) по времени и получим выражение для тока:

$i=\frac{dq}{dt}=\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$                  (6)

Согласно закону Джоуля -Ленца количество теплоты:            $dW=i^2Rdt$

$W(t)=\int_0^ti(t)^2Rdt=\int_0^t(\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{RC}})^2Rdt$   

Тогда в нашем случае 

$W=\frac{CE^2}{2}$