Некоторое количество газа криптон нагрели при постоянном давлении. Температура повысилась в три раза, затем газ изохорно охладили уменьшив количество теплоты на девять килоджоулей. Температура при этом снизилась в два раза. Сколько теплоты было сообщено при изобарном процессе?

Для решения задачи запишем первое начало термодинамики

Q=A+dU.      (1)

По определению работа газа

А=P·dV,   

где Р, dV - соответственно давление и изменение объема.

Изменение внутренней энергии при изобарном процессе:

$dU=\frac{3}{2}\nu RT$            (2)

здесь v, R, dT - соответственно количество молей газа, универсальная газовая постоянная, изменение температуры.

Т.к. нагревание криптона, одноатомного газа, происходит при постоянном давлении, используя уравнение состояния идеального газа      P·V=ν·R·T,  уравнение работы газа можно записать так

А=P·(V₂-V₁)=P·V₂-P·V₁=ν·R·T₂-ν·R·T₁=ν·R·dT     (3)

Из  (2)     $\nu RdT=\frac{2}{3}dU$   и тогда  выражение (3) можно записать так  

$A=\frac{2}{3}dU$               (4)

Тогда из уравнения первого начала термодинамики (1) с учетом (4) получим, что количество теплоты, сообщенной газу при изобарическом процессе:

$dQ_1=dU+\frac{2}{3}dU=\frac{5}{3}dU$             (5)

(2) подставим в (5):   

$dQ_1=\frac{5}{3}*\frac{3}{2}\nu RdT=\frac{5}{2}\nu R(T_2-T_1)$     (6)

Поскольку по условию T2=3T1,   то можем (6) переписать в виде:

$dQ_1=5\nu rT_1$        (7)

Ну, а теперь займемся изохорным процессом. Опять же запишем первое начало термодинамики, куда же без него, но чтобы не путаться будем писать индексы 2 для значений изохорического процесса:       

$dQ_2=dU_2+A_2$           

Но, при изохорическом процессе газ не выполняет работу А2=0.  Всё изменение тепловой энергии (получение извне или отдача наружу)  равно изменению внутренней энергии газа. 

Для изохорного процесса молярная теплоемкость одноатомного газа Сv=3R/2

Можем записать: 

$dU_2=C_v\nu dT=\frac{3}{2}R\nu(T_2-T_3)=\frac{3}{2}R\nu*\frac{3}{2}T_1=\frac{9}{4}R \nu T_1$        (8)

По условию задачи  $dU_2=9*10^3$  Дж.    

$9000=\frac{9}{4}R\nu T_1$                $\nu T_1=\frac{4000}{R}$         (9)

Подставим (9) в (7) и найдем искомое количество тепла, переданное газу при изобарическом процессе:

$Q_1=5R*\frac{4000}{R}=20000$  Дж

Ответ:  20 кДж