Индуктивность катушки колебательного контура L = 6 мГн, а емкость конденсатора С = 0,3 мкФ. Найти логарифмический декримент затухания и сопротивление контура, если за время t = 1 мс разность потенциалов на обкладках конденсатора уменьшилась в 4 раза.

Период колебаний:         

$T=2\pi\sqrt{LC}=2*3,14*\sqrt{6*10^{-3}*0,3*10^{-6}}=266,4*10^{-6}\;c$

Амплитуда затухающих колебаний напряжения в контуре зависит от времени t и коэффициента затухания a. Эта зависимость описывается выражением:

$U(t)=U_0e^{-at}$              (1)

Исходя из условия  и с учетом (1) можем записать:

$\frac{U(t=10^{-3}}{U_0}=\frac{1}{e^{at}}=\frac{1}{4}$              (2)

Из (2) с учетом условия следует:

$e^{0,001a}=4$           (3)

Решаем уравнение (3) и находим коэффициент затухания:

$0,001a=\ln{4}$                 $a=1,39*10^{-3}$

Логарифмический декремент затухания b по определению равен натуральному логарифму отношения дву последовательных амплитуд колебания, то есть двух соседних амплитуд через период и равен:

$b=aT=1,39*10^{-3}*266,4*10^{-6}\approx 370*10^{-9}$

Коэффициент затухания связан с величиной сопротивления контура:

$a=\frac{R}{2L}$

Тогда искомое сопротивление:

$R=2aL=2*1,39*0^{-3}*6*10^{-3}\approx 25*10^{-6}$ Ом