Экспериментатор в центре платформы вращается. Найти угловую скорость

 Экспериментатор находится в центре платформы и вращается вместе с ней с угловой скоростью w1=3,14 с ^-1  . Момент инерции человека относительно оси вращения считать постоянным и равным Jo=1,2 кг · м^2 . В вытянутых руках у него две гири массой m=3 кг каждая. Расстояние между гирями d1=1,6 м.

Найти угловую скорость вращения системы, если человек опустит руки, и расстояние между гирями станет равным d2=0,4 м. Момент инерции скамьи Jc=0,6 кг · м^2.

Грузы считать материальными точками. Трением пренебречь.

             Человек, держащий гири, составляет вместе со скамьей замкнутую систему (предполагается, что моменты всех внешних сил – сил тяжести и реакции, действующих на эту систему по отношению к оси вращения, являются уравновешенными, трением об ось пренебрегаем).

   В замкнутой системе выполняется закон сохранения момента импульса, который запишется в виде:

    $J_1w_1=J_2w_2$                         (1)

где J_1, ω₁ – суммарный момент инерции скамьи и человека с гирями на вытянутых руках и угловая скорость при этом; J_2, ω₂ -суммарный момент инерции скамьи и человека с гирями в опущенных руках и угловая скорость при этом; 

                Из (1) следует:

$w_2=\frac{J_1w_1}{J_1}$                       (2)

Момент инерции системы равен сумме момента инерции тела человека J₀ и момента инерции гирь в руках человека. Так как размер гирь много меньше их расстояния до оси вращения, то момент инерции гирь можно определить по формуле момента инерции материальной точки:

      $J=mr^2$                 (3)

                

 Следовательно, суммарный момент инерции скамьи и человека с двумя гирями на  вытянутых руках:

$J_1=J_c+J_0+\frac{2md_1^2}{2^2}=J_c+J_0+\frac{md_1^2}{2}$ 

      

  Суммарный момент инерции скамьи и человека с гирями в опущенных руках:

$J_1=J_c+J_0+\frac{2md_2^2}{2^2}=J_c+J_0+\frac{md_2^2}{2}$            (5)

                         

 Подставляя выражения (4) и (5) для J₁ и J₂ в уравнение (2), получим

$w_2=\frac{w_1(J_c+J_0+\frac{md_1^2}{2})}{J_c+J_0+\frac{md_2^2}{2}}$

$w_2=\frac{3,14*(0,6+1,2+\frac{3*1,6^2}{2}}{0,6+1,2+\frac{3*0,4^2}{2}}=8,68$ рад/с         (6)