Альпинист , поднявшись на вершину горы измерил атмосферное давление. Оно оказалось в 2 раза меньше, чем у подножия горы. Определить высоту горы, считая температуру воздуха постоянной и равной 20 градусов Цельсия

Пусть давление  на вершине $P_2$, тогда у подножия $P_1=2P_2$

Давление внизу больше давления наверху на величину давления слоя воздуха от подножия до вершины высотой h.

Давление этого слоя $\Delta P=\rho gh$

где $\rho,\;g,\;h$ - соответственно плотность воздуха при 20 градусах, ускорение земного тяготения, высота горы.

$h=\frac{\Delta P}{\rho g}$

$\Delta P=P_1-P_2=P_1-\frac{P_1}{2}=\frac{P_1}{2}$ 

$h=\frac{P_1}{2\rho g}$

$P_1$  - это атмосферное давление при нормальных условиях

$P_1$=101325\;Па$Плотность воздуха при 20 градусах$\rho=1,2\;\text{кг/м}^3h=\frac{101325}{2*1,2*9,81}\approx 4304$  м


Второй способ. 

В гравитационном поле давление воздуха зависит от высоты и эта зависимость описывается следующим уравнением:

$P(h)=P_0e^{-\frac{\mu gh}{RT}}$              (1)

 где Po, e, мю, g, h, R, T  - соответственно давление внизу, основание натурального логарифма, молярная масса воздуха (гуглим), ускорение свободного падения, высота, универсальная газовая постоянная, абсолютная температура в Кельвинах.

 Согласно условию:                  $P(h}=\frac{P_0}{2}            (2)

Приравняем правые части уравнений (1) и (2) и будем решать полученное уравнение.  Прологарифмируем обе его части:

$\ln{\frac{1}{2}=-\frac{\mu gh}{RT}$

$\ln{2}=\frac{mu gh}{RT}$

$h=\frac{RT\ln{2}{\mu g}=\frac{8,31*293*0,69}{29*10^{-3}*10}\approx 5793$   м