Сплошной парафиновый (ε = 2) шар радиусом R=10 см заряжен равномерно по объему с объемной плотностью p=10 нКл/м^3. Определить энергию электрического поля, сосредоточенную в самом шаре и вне его.

Для начала найдем энергию внутри шара. Для этого выделим внутри шара элементарный сферический объем с толщиной сферы dr. Тогда можно записать, что в этом элементарном объеме dV сосредоточена энергия  $dW=wdV$, где w - объемная плотность энергии.

Объем этого элементарного слоя можно выразить так:

$dV=4\pi r^2dr$,           

тогда                                                $dW=4w\pi r^2dr$            (1)

Объемная плотность заряда шара выражается формулой:

$w=\frac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon E^2$  

где $\varepsilon,\;\varepsilon_0,\; E$  соответственно относительная и абсолютная диэлектрическая  проницаемости и напряженность электрического поля.

Напряженность поля внутри шара на расстоянии r от его центра описывается выражением:

$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon r^2}$       где Q - заряд

$w=\frac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon*\frac{Q^2}{16\pi^2\varepsilon_0^2\varepsilon^2 r^4}=\frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0\varepsilon r^4}$        (2)

(2) подставим в (1)

$dW=4\pi r^2*\frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0\varepsilon r^4}dr=\frac{Q^2}{8\pi \varepsilon_0\varepsilon r^2}dr$               (3)

Заряд части шара, заключенной внутри сферы радиуса r равен произведению объемной плотности заряда на объем этой части шара:

$Q=p*\frac{4}{3}\pi r^3$  

Тогда (3) принимает вид

$dW=\frac{16\pi^2r^6p^2}{9*8\pi\varepsilon_0\varepsilon r^2}dr=\frac{2\pi r^4p^2}{9\varepsilon_0\varepsilon}dr$  

Проинтегрировав последнее выражение от r=0 до r=R, мы находим энергию, сосредоточенную внутри шара:

$W=\int_{r=0}^{r=R}{\frac{2\pi r^4p^2}{9\varepsilon_0\varepsilon}dr}=\frac{2\pi p^2R^5}{45\varepsilon_0\varepsilon}$             (4)

Энергия электрического поля снаружи шара:

$W_n=\frac{Q\phi}{2}$              (5)

где Q,ф - соответственно заряд и потенциал шара.

$Q=\frac{4}{3}\pi r^3p$    где R - радиус шара, р - объемная плотность заряда.

$\phi=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon R}=\frac{4}{3}\pi R^3p*\frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon R}$=\frac{p R^2}{3\varepsilon_0\varepsilon}$

$W_n=\frac{1}{2}*\frac{4\pi p R^3}{3}*\frac{pR^2}{3\varepsilon_0\varepsilon}=\frac{2\pi  p^2R^5}{9\varepsilon_0\varepsilon}$             (6)

Подставляйте исходные данные из условий, но имейте ввиду, что здесь имеется   $varepsilon=1$  - т.е. относительная диэлектрическая проницаемость воздуха (вакуума) равна единице, а в формуле (4)    $varepsilon=2$    - т.к. речь идет о поле внутри парафинового шара.   

$\varepsilon_0=8,85*10^{-12}$  Ф/м