При какой температуре шар взлетит

По мере нагревания воздуха сила тяжести, действующая на шар, должна уменьшаться, т.к. плотность воздуха, находящегося в оболочке, будет падать. Будем, поскольку другое не оговорено в условии задачи, считать, что находящийся вне шара воздух покоится относительно Земли, и лабораторная система отсчета является инерциальной.

На покоящийся шар со стороны окружающего воздуха действуют силы гидростатического давления. Величина равнодействующей этих сил, равной согласно закону Архимеда весу вытесненного шаром воздуха, при сделанных предположениях равна F=mg, где m — масса вытесненного воздуха, а g — величина ускорения свободного падения. Поскольку абсолютная температура окружающего воздуха T=273+t, то полагая, как обычно, что воздух подчиняется уравнению состояния идеальных газов, получим

$m=\frac{PV\mu}{RT}$

где R=8,31 — универсальная газовая постоянная.

Из условия задачи следует, что нагревание происходит столь медленно и теплопроводность оболочки столь мала, что во всех точках внутри оболочки температура воздуха устанавливается одинаковой. При этом можно считать, что давление воздуха в оболочке равно атмосферному. Тогда согласно уравнению Клапейрона-Менделеева при абсолютной температуре воздуха в оболочке, равной Т, масса содержащегося в ней воздуха должна быть равна

$m=\frac{PV\mu}{RT_x}$

где m - масса, p - давление, V -объем, Tx -температура внутри шара, мю -молярная масса воздуха
Поскольку при сделанных выше предположениях шар должен начать взлетать, когда масса груза и оболочки с находящимся в ней воздухом станет меньше массы вытесненного шаром воздуха, то шар начнет подниматься при выполнении условия

$M+\frac{PV\mu}{RT_x}<\frac{PV\mu}{RT}$

Следовательно, искомая температура при сделанных предположениях определяется условием

$T_x>\frac{PV\mu T}{PV\mu-MRT}$